Доклад по теме:Комплексные числа и действия над ними ВЫПОЛНИЛ СТУДЕНТ ГРУППЫ 2Г31 МИШАНЬКИН А.Ю.

Определение Комплексные числа - упорядоченная пара действительных чисел (x; y). Множество комплексных чисел обозначается через. Два комплексных числа (x 1 ; y 1 ) и (x 2 ; y 2 ) называются равными, если x 1 = x 2, y 1 = y2.

Расположение комплексных чисел

Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Комплексное число z = x + iy изображают на координатной плоскости O x y точкой с координатами ( x; y ). Эта плоскость называется комплексной плоскостью. Ось Ox называется действительной осью, а ось Oy – мнимой осью.

1.Суммой комплексных чисел (x 1 ; y 1 ) и (x 2 ; y 2 ) называется комплексное число (x 1 + x 2 ; y 1 + y 2 ). 2.Разностью комплексных чисел z 1 и z 2 называется комплексное число z, для которого выполнено равенство z + z 2 = z 1. 3.Произведением комплексных чисел (x 1 ; y 1 ) и (x 2 ; y 2 ) называется комплексное число (x 1 x 2 y 1 y 2 ; x 1 y 2 + x 2 y 1 ). 4.Частным комплексных чисел z 1 и z 2, где z 2 0, называется комплексное число z, для которого выполнено равенство z · z 2 = z 1. Действия над комплексными числами

Теорема. (Формула Муавра, 1707 г.) Для любого целого числа n и любого действительного числа k имеет место следующее равенство: где r модуль, φ аргумент комплексного числа. Открыта французским математиком Абрахамом де Муавром. Формула Муавра следует из формулы Эйлера и тождества для экспонент, где b – целое число.

Всякий отличный от константы многочлен (от одной переменной) с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один корень в поле комплексных чисел. Теорема -Корни пятой степени из единицы (вершины пятиугольника).

Модулем (абсолютной величиной) комплексного числа называется длина радиус-вектора соответствующей точки комплексной плоскости (или, что то же, расстояние между точкой комплексной плоскости, соответствующей этому числу, и началом координат). Для пары комплексных чисел z1 и z2 модуль их разности |z1- z2| равен расстоянию между соответствующими точками комплексной плоскости. Угол φ (в радианах) радиус-вектора точки, соответствующей числу z, называется аргументом числа z и обозначается Arg (z). Модуль и аргумент

Модуль, аргумент, вещественная (Re z) и мнимая (Im z) части.

Если комплексное число, то число называется сопряжённым (комплексно сопряжённым). Если комплексное число, то число Сопряжённые числа - Геометрическое представление сопряжённых чисел.

Формы представления комплексных чисел Алгебраическая форма Показательная форма Тригонометрическая форма