ЗАДАЧИ ЕГЭ (С2)

Расстояние от точки до прямой, не содержащей эту точку, есть длина отрезка перпендикуляра, проведенного из этой точки на прямую. Расстояние между двумя параллельными прямыми равно длине отрезка их общего перпендикуляра. Расстояние между двумя параллельными прямыми равно расстоянию от любой точки одной из этих прямых до другой прямой Повторяем теорию:

Расстояние от точки до плоскости, не содержащей эту точку, есть длина отрезка перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью равно длине их общего перпендикуляра. Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью равно расстоянию от любой точки этой прямой до плоскости. Расстояние между двумя параллельными плоскостями равно длине их общего перпендикуляра. Расстояние между двумя параллельными плоскостями равно расстоянию между точкой одной из этих плоскостей и другой плоскостью. Повторяем теорию:

Углом между двумя пересекающимися прямыми называется наименьший из углов, образованных при пересечении прямых. 0 < 90 0 Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимся. Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен Угол между параллельными прямыми считается равным нулю. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми равно длине отрезка их общего перпендикуляра.

Повторяем теорию: Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой называется угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость. 0 < (а, ) < 90 0 Угол между взаимно перпендикулярными прямой и плоскостью равен Если прямая параллельна плоскости (или лежит в ней), то угол между ними считается равным 0 0.

Повторяем теорию: Двугранный угол, образованный полуплоскостями измеряется величиной его линейного угла, получаемого при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру. Величина двугранного угла принадлежит промежутку (0 0,180 0 ) Величина угла между пересекающимися плоскостями принадлежит промежутку. (0 0, 90 0 ] Угол между двумя параллельными плоскостями считается равным 0 0.

Повторяем теорию: Задач, связанные с нахождением угла между плоскостями: между пересекающимися прямыми a и b, лежащими в рассматриваемых плоскостях и перпендикулярными их линии пересечения ; между прямыми, параллельными прямым a и b или между b и прямой, параллельной a; между плоскостями, параллельными данным плоскостям и или между и плоскостью, параллельной ; между перпендикулярами к данным плоскостям.

Повторяем теорию: Как находят координаты вектора, если известны координаты его начала и конца? Как находят координаты середины отрезка? Как находят длину вектора? Как находят расстояние между точками? Как вы понимаете выражение «угол между векторами»?

Повторяем теорию: Какие векторы называются перпендикулярными? Что называется скалярным произведением векторов? Чему равно скалярное произведение перпендикулярных векторов? (0) Чему равен скалярный квадрат вектора? ( )

Направляющий вектор прямой. Ненулевой вектор называется направляющим вектором прямой, если он лежит на самой прямой, либо на прямой, параллельной ей. а В А

Дано: Найти: угол между прямыми АВ и CD. 1.Найдем координаты векторов и 2. Воспользуемся формулой: φ = 30 0

Дано: прямоугольный параллелепипед АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 ; DA = 2; DC = 2; DD 1 = 3. C C1C1 A1A1 B1B1 D1D1 A B D 12 3 Найти угол между прямыми СВ 1 и D 1 B. х у z 1.Введем систему координат D xyz D(0;0;0), D 1 (0;0;3),С(0;2;0),С 1 (0;2;3),А(1;0;0), А 1 (1;0;3), В(1;2;0), В 1 (1;2;3) 2. Рассмотрим направляющие прямых D 1 Bи CB 1 : 3.С помощью формулы скалярного произведения найдем cosφ :

Дано: прямоугольный параллелепипед АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 ; АВ = ВС = ½ АА 1 Найти угол между прямыми ВD и CD 1. C C1C1 A1A1 B1B1 D1D1 A B D 1 способ: 1. Введем систему координат B xyz х у z 2. Пусть АА 1 = 2, тогда АВ = ВС = Координаты векторов: 4. Находим косинус угла между прямыми:

C C1C1 A1A1 B1B1 D1D1 A B D Дано: прямоугольный параллелепипед АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 ; АВ = ВС = ½ АА 1 Найти угол между прямыми ВD и CD 1. 2 способ: 1. Т.к. СD 1 || ВА 1, то углы между ВD и ВА 1 ; ВD и СD 1 – равны. 2. В ΔВDА 1 : ВА 1 = 5, А 1 D = 5 3. ΔВDА: по теореме Пифагора 4. По теореме косинусов:

Дано: куб АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 точка М принадлежит АА 1 АМ : МА 1 = 3 : 1; N – середина ВС НАЙТИ :косинус угла между прям. MN и DD 1 C C1C1 A1A1 B1B1 D1D1 A B D 1. Введем систему координат. х у z М N 2. Пусть АА 1 = 4, тогда 3. Найдем координаты векторов DD 1 и MN. 4. По формуле найдем cosφ. Ответ:

Дано: Правильная треугольная призма Все рёбра равны 1. Найти косинус угла между прямыми АВ и Поскольку A 1 В 1 || AB, искомый угол равен углу В 1 А 1 С. Из теоремы косинусов для треугольника В 1 А 1 С получим А 1 С=В 1 С=2, поэтому Ответ: А В С А1А1 С1С1 В1В1

Дано: Правильная треугольная призма Все рёбра равны 1. Найти косинус угла между прямыми АВ 1 и BC 1. Ответ: А В С А1А1 С1С1 В1В1 M 1.Проведём прямую ВМ || АВ 1.Тогда 2.В треугольнике С 1 В 1 М : С 1 В 1 =1, В 1 М =1, По теореме косинусов В треугольнике С 1 ВМ : С 1 В=ВМ=,С 1 М= Далее, используя теорему косинусов, получаем:

Дано: Правильная шестиугольная призма АВСDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, АВ=5, АA 1 = 11. Найти: расстояние от точки С до прямой A 1 F 1 S A B C F A D E A1A1 F1F1 E1E1 1.Расстояние от точки до прямой – длина перпендикуляра, опущенного из точки на данную прямую. 2.Из треугольника АВС по теореме косинусов найдём АС 3.Из треугольника А 1 АС по теореме Пифагора находим А 1 С, А 1 С=14 4.Из треугольника F 1 FС по теореме Пифагора находим F 1 С, F 1 С= Треугольник F 1 А 1 С прямоугольный (так как Значит катет А 1 С – расстояние от точки С до прямой A 1 F 1. А 1 С=14. Ответ: 14.

Дано: куб АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 Найти угол между прямой АС 1 и плоскостью ВСС 1 C C1C1 A1A1 B1B1 D1D1 A B D 1.Угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и её проекцией на заданную плоскость. АВ -перпендикуляр к плоскости ВСС 1, С 1 В – проекция прямой АС 1 на плоскость ВСС 1. Значит угол АС 1 В –искомый угол. 2. Пусть сторона куба равна а, тогда 3. Ответ: С 1 В =

Дано: Правильная четырёхугольная пирамида SAВСD, SA=SB=SC=SD=1, АВ=1. Найти косинус угла между прямой АBи плоскостью SAD. S ВА D С 1.Угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и её проекцией на заданную плоскость. Пусть BМ-перпендикуляр к плоскости SAD, АМ– проекция прямой АB на плоскость SAD, тогда угол МАB –угол между прямой АBи плоскостью SAD. 2.По теореме Пифагора находим ВD из треугольника АВD. ВD=2 3. M O

4. 5.Пусть - искомый угол МАB Ответ:

Дано: Правильная шестиугольная пирамида SA…F, SA=SB=…=SF=2, АВ=1. Найти косинус угла между прямой АС и плоскостью SAF. S A B C F AD E 1.Угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и её проекцией на заданную плоскость. Пусть СМ-перпендикуляр к плоскости SAF, АМ– проекция прямой АС на плоскость SAF, тогда угол МАС –угол между прямой АС и плоскостью SAF. 2.По теореме косинусов находим АС из треугольника АВС. АС= 3. М O

4. 5.Пусть - искомый угол МАС Ответ:

Дано: Цилиндр, d=20, образующая цилиндра равна 28, плоскость сечения, плоскость пересекает основания по хордам АВ и СD, АВ=12, СD=16. Найти: тангенс угла между плоскостью сечения α и плоскостью основания цилиндра. 2.1 случай (хорды, по которым плоскость сечения пересекает плоскости основания, находятся по одну сторону от оси цилиндра) 1)О 1 К 1 КО –трапеция, так как АВ||CD(линии пересечения параллельных плоскостей третьей плоскостью) и О 1 К 1 CD, ОК АВ, значит О 1 К 1 ||ОК В трапеции О 1 К 1 КО: ОО 1 = 28, К 1 М –высота трапеции, зн. К 1 М=28. 2)В прямоугольном треугольнике О 1 К 1 С: СК 1= 16:2=8, О 1 С= d:2 = 20:2=10, тогда О 1 К 1 = 3)В прямоугольном треугольнике ОКА: АК= 12:2=6, ОА= d:2 = 20:2=10, тогда ОК= МК=ОК-О 1 К 1 =8-6=2. 4)В прямоугольном треугольнике К 1 МК: 1.Построим линейный угол двугранного угла между плоскостью сечения и плоскостью основания. Для этого из центров окружностей опустим перпендикуляры ОК и О 1 К 1 на хорды АВ и CD соответственно, тогда прямая КК 1 также перпендикулярна хорде АВ (теорема о трёх перпендикулярах), а угол К 1 КО – угол между плоскостями. О О1О1 А В С D К1К1 КМ

3.2 случай (хорды, по которым плоскость сечения пересекает плоскости основания, находятся по разные стороны от оси цилиндра) 1)В прямоугольном треугольнике О 1 К 1 С: СК 1 = 16:2=8, О1С= d:2 = 20:2=10, тогда О 1 К 1 = 6 2)В прямоугольном треугольнике ОКА: АК= 12:2=6, С ОА= d:2 = 20:2=10, тогда ОК= 8 3)К 1 М -перпендикуляр, опущенный к основаниям цилиндра, поэтому К1М=28 МК=ОК +О 1 К 1 =8+6=14. 4)В прямоугольном треугольнике К 1 МК: Ответ : 14 и 2. М О1О1 О К1К1 К А В D

Дано: Цилиндр, d=26, образующая цилиндра равна 21, плоскость сечения, плоскость пересекает основания по хордам АВ и СD, АВ=10, СD=24. Найти: угол между плоскостью сечения α и плоскостью основания цилиндра. 2.1 случай (хорды, по которым плоскость сечения пересекает плоскости основания, находятся по одну сторону от оси цилиндра) 1)О 1 К 1 КО –трапеция, так как АВ||CD(линии пересечения параллельных плоскостей третьей плоскостью) и О 1 К 1 CD, ОК АВ, значит О 1 К 1 ||ОК В трапеции О 1 К 1 КО: ОО 1 = 21, К 1 М –высота трапеции, зн. К 1 М=21. 2)В прямоугольном треугольнике О 1 К 1 С: СК 1= 24:2=12, О 1 С= d:2 = 26:2=13, тогда О 1 К 1 = 3)В прямоугольном треугольнике ОКА: АК= 10:2=5, ОА= d:2 = 26:2=13, тогда ОК= МК=ОК-О 1 К 1 =12-5=7. 4)В прямоугольном треугольнике К 1 МК: 1.Построим линейный угол двугранного угла между плоскостью сечения и плоскостью основания. Для этого из центров окружностей опустим перпендикуляры ОК и О 1 К 1 на хорды АВ и CD (соответственно), тогда прямая КК 1 также перпендикулярна хорде АВ (теорема о трёх перпендикулярах), а угол К 1 КО – угол между плоскостями. О О1О1 А В С D К1К1 КМ

3.2 случай (хорды, по которым плоскость сечения пересекает плоскости основания, находятся по разные стороны от оси цилиндра) 1)В прямоугольном треугольнике О 1 К 1 С: СК 1 = 24:2=12, О 1 С= d:2 = 26:2=13, тогда О 1 К 1 = 5 2)В прямоугольном треугольнике ОКА: АК= 10:2=5, ОА= d:2 = 26:2=13, тогда ОК= 12 3)К 1 М -перпендикуляр, опущенный к основаниям цилиндра, поэтому К 1 М=21 МК=ОК +О 1 К 1 =12+5=17. 4)В прямоугольном треугольнике К 1 МК: Ответ : arctg3 и arctg М О1О1 О К1К1 К А В D С

C C1C1 A1A1 B1B1 D1D1 A B D Дано: прямая четырёхугольная призма АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 ; ABCD –прямоуг., АВ = 12, AD =.Расстояние между прямыми АС и В 1 D 1 равно 5. Найти косинус угла между плоскостью основания призмы и плоскостью, проходящеёй через середину ребра АD перпендикулярно прямой ВD 1. 1.Угол между плоскостями равен углу между прямыми перпендикулярными данным плоскостям. Так как плоскость основания перпендикулярна прямой DD1, а вторая плоскость перпендикулярна прямой ВD1, то искомый угол равен углу ВD1D. 2.Так как расстояние между прямыми АС и В1D1 равно 5, то DD1 =5.. ОТВЕТ:

C C1C1 A1A1 B1B1 D1D1 A B D Дано: прямая четырёхугольная призма АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 ; ABCD –прямоуг., АВ = 5, AD =.Расстояние между прямыми A 1 C 1 и ВD равно. Найти тангенс угла между плоскостью грани АА 1 D 1 D призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра СD перпендикулярно прямой DВ 1. 1.Угол между плоскостями равен углу между прямыми перпендикулярными данным плоскостям. Так как плоскость АА 1 D 1 D перпендикулярна прямой DС, а вторая плоскость перпендикулярна прямой ВD1, то искомый угол равен углу В1DС. 2.Так как расстояние между прямыми АС и В1D1 равно 5, то DD1 = СС1 = 5, тогда. ОТВЕТ: 3.Треугольник В1СD-прямоугольный,т.к. DС (ВС C 1 B 1 ), зн.

РЕШЕНИЕ С2