Векторы (тема для элективного курса)

Вектором называется параллельный перенос. Для обозначения векторов используются символы а,b, х и т.п. Векторы рассматриваются на плоскости (II перенос плоскости) и в пространстве (II перенос пространства). И в том, и другом случае вектор определяется упорядоченной парой точек, т.е. заданием точки и ее образа. Вектор – это направленный отрезок АВ=а. Направление луча АВ, называется направлением вектора а=АВ. Расстояние IАВI – называется длиной или модулем а=АВ, обозначается IАВI или IаI.

Проекцией вектора а на ось и называется число, равное произведению длины IаI на косинус угла между вектором а и осью и пр и IaI=IaIcosα и B A а )

Вектор а задается координатами: а=(Ха; Уа; Zа), где Ха проекция вектора а на ось ОХ, Уа – проекция вектора а на ось ОУ, Zа –проекция на OZ. Вектор можно задать разложением по векторам базиса i; j; k.,где i; j; k – единичные, т.е. и взаимно перпендикулярные векторы. K i Z X Y j

Суммой векторов а; b; с называется вектор d=АВ, который является замкнутой ломаной, построенной следующим образом: в конце вектора а помещается начало вектора, b, в конце b – начало с. Дано: a = (xa; ya; za) и b = (xb; yb; zb), тогда a + b= (xa+ xb; ya+ yb; za+ zb) A B в а с d

Разность векторов а-в=АВ Определяется геометрически так: пусть a = (x a ; y a ; z a ) и b = (x b ; y b ; z b ) заданны своими координатами, тогда a - b= (x a - x b ; y a - y b ; z a - z b ) с А В а в

Произведение вектора а на число λ Умножение вектора a = (x a ; y a ; z a ), заданного координатами, на число λ производится по правилу: λa=( λx a ; λy a ; λz a ) есть вектор с, длина которого равна IλI IaI ; вектор с сонаправлен вектору а, если λ>0 и противоположно направлен, если λ

Векторы называются коллинеарными, если существует прямая, которой они параллельны. Коллинеарные векторы а и b связаны равенством a = λb Если известны координаты векторов, то условие коллинеарности векторов можно определить:

Длина (модуль) вектора a = (x a ; y a ; z a ) определяется формулой: IaI= Если А (Х 1 ;У 1 ;Z 1 ) начало и В (Х 2 ;У 2 ;Z 2 ) конец вектора АВ, то координаты АВ определяются формулой: АВ=(Х 2 -Х 1 ;У 2 -У 1 ;Z 2 -Z 1 )

Скалярное произведение вектора а на вектор b есть число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними: ab=(a,b)= IaIIbIcosφ Формула для вычисления скалярного произведения векторов a = (x a ; y a ; z a ) и b = (x b ; y b ; z b ), заданных координатами: ab= x a x b + y a y b + z a z b ) в а φ

Угол между векторами а и b определяется формулой: Если векторы a = (x a ; y a ; z a ) и b = (x b ; y b ; z b ) заданы координатами, то угол между векторами находится по формуле:

Проекция вектора а на вектор b определяется формулой: Если векторы a = (x a ; y a ; z a ) и b = (x b ; y b ; z b ) заданы координатами, то проекция вектора a на b определяется формулой:

Векторное произведение векторов а и b обозначение a×b=[a,b]=[a×b] есть вектор c, удовлетворяющий условиям: 1) IcI=IaI IbI sinφ 2) c a и ×c b 3) Направление с определяется по правилу правой руки, т.е. с конца вектора с кратчайший поворот от вектора а к вектору b виден против хода часовой стрелки (правило Буравчика). φ в с а )

Формула для вычисления векторного произведения векторов а и b, заданных координатами а (x a ; y a ; z a ) и b(x b ; y b ; z b ). т.е. векторное произведение а и b – это вектор с координатами:

Площадь параллелограмма, построенного на векторах а и b равна модулю векторного произведения а х b т.е. S= I a×b I= IaI×IbI sinφ (φ – угол между а и b) Площадь #, построенного на векторах, заданных координатами находится:

Смешанным произведением векторов а, b, с называется число, равное скалярному произведению векторов а × b на вектор с. Формула для смешанного произведения векторов, заданных координатами:

V параллелепипеда, построенного на векторах а, b и с равен модулю смешанного произведения этих векторов V пирамиды, построенной на векторах объема параллелепипеда, построенного на этих векторах :

Три вектора а, b, с называются компланарными, если существует плоскость, которой они II. Признак компланарности трех векторов: Три не нулевых вектора а, b, с компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение =0.

Прямоугольные координаты в пространстве Если О хуz декартова система координат в пространстве, то точка М пространства, имеющая координаты Х(абсцисса) У(ордината) Z(аппликата), обозначается М (х; у; z). Расстояние между А (х 1 ; у 1 ; z 1 ) и В (х 2 ; у 2 ; z 2 ) определяется:

В частности, расстояние точки М (х; у; z) от начала координат 0 определяется по формуле: Если отрезок, концами которого служат точки А (х1; у1; z1) и В (х2; у2; z2) разделен точкой С(х; у; z) в отношение λ, то координаты точки С определенности по по формуле: В частности координаты середины отрезка определяются по формуле(т.к. λ=1) Примечание: Пусть на прямой заданой отрезка АВ (А начало,В конец отрезка) Тогда всякая третья точка С этой прямой делит АВ в некотором отношении λ, где,если АС и ВС направлены в одну строку, то λ имеет знак «+»,если АС и ВС направлены в противоположные стороны, то λ имеет знак «-».

Решение Воспользуемся формулой деления отрезка в данном отношении: Y м =4 Z м =1 М(-1;4;1) 1 Дано: М 1 (2;4;-2) М 2 (-2;4;2) На прямой М 1 М 2 Найти М, делящую отрезок М 1 М 2 в отношение λ=3

Показать, что а=2i+5j+7k;в =i+j-k; c=i+2j+2k компланарны (признак компланарности )

3 Найдем объем пирамиды с вершинами А(2;2;2) В(4;3;3) С(4;5;4) и D(5;5;6) Решение : Найти векторы АВ ; АС и АD совпадают с ребрами пирамиды, сходящимися в вершине А. АВ= 2i+j+k ; АС= 2i+3j+2k ; АD= 3i+3j+4k.

Задание 4 А 1 А 2 А 3 А 4 -пирамида А 1 (-4;-2;0) А 2 (-1;-2;4) А 3 (2;1;2) А 4 (3;-2;1). Найти: 1) А 1 А 2 длину ребра 2) Угол между векторами А 1 А 2 и А 1 А 4, это есть угол между ребрами А 1 А 2 и А 1 А 4

3) Найдем проекцию вектора А 1 А 3 на вектор А 1 А 4

Работу сделали : Ученики 11Г класса: Пароваткина Т.В. Лаштабов К.В. Больше всего претензий предъявлял Алексей Демченко