ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ (ЗАДАЧИ ЭИТ)

Физическая модель Имеется простой цилиндрический фантом, наполненный солевым раствором до определенного уровня. В цилиндр встроено 128 электродов и имеется два дополнительных электрода. Контролируемый электрический ток может быть инжектирован в любую пару электродов. На других электродах относительно контрольного электрода снимаются значения напряжений. В экспериментах рассматриваются два случая: 1. Цилиндр с соленой водой (однородный цилиндр); 2. Цилиндр, наполненный соленой водой, вдобавок два других тела (параллелепипед и малый цилиндр) помещаются внутрь большого цилиндра в точно определенные позиции (цилиндр с вложениями).

Варианты физических моделей r z φ r z φ Однородный цилиндрЦилиндр с вложениями

Постановка задачи Цель решения обратной задачи ЭИТ состоит в поиске электрических проводимостей раствора и теловложений. В эксперименте мы знаем точную геометрию фантома и вложений. Также нам известны значения инжектируемого тока и напряжение на электродах. Для решения обратной задачи необходимо многократное решение прямой задачи.

Прямая задача ЭИТ Прямая задача может быть хорошо описана неоднородным уравнением Пуассона с нулевым потоком на границе цилиндра. По известным функциям σ и f нужно определить распределение потенциала u на поверхности и внутри цилиндра. Уравнение в цилиндрической системе координат:

Конечно-разностная аппроксимация Для решения прямой задачи исходное уравнение Пуассона заменяется на дискретный аналог посредством конечно- разностной аппроксимации второго порядка точности.

Дискретная модель пустого цилиндра

Упорядочение неизвестных

Матрица линейной системы После дискретизации исходной задачи получается система линейных алгебраических уравнений Ax=b порядка Nr*Nφ*Nz. Матрица A имеет сильно разреженную структуру.

Solving the linear system Ax=b Для решения больших разреженных системe Ax=b очень перспективным видится использование метода сопряженных градиентов – Conjugate gradient(CG), и метода бисопряженных градиентов – Biconjugate gradient(BICG). CG и BICG методы являются итерационными, однако находят точное решение не более чем за N шагов, где N есть размерность линейной алгебраической системы.

CG метод CG пригоден для решения систем ЛАУ с положительно определенными симметричными матрицами и основывается на поиске минимума функционала: Алгоритм может быть остановлен, норма невязки системы становится меньше заданного ε.

Оценка скорости сходимости CG и BICG Скорость сходимости CG и BICG зависит от собственных значений матрицы A. и есть наименьшее и наибольшее по модулю собственные значения матрицы A.

Переобуславливатели Для улучшения сходимости методов к решению перспективным является использование переобуславливателей (невырожденных матриц) для улучшения спектральных характеристик матрицы исходной системы. При построении переобуславливателя M необходимо придерживаться следующих правил: 1. M должна быть по возможности близка к A. 2. М должна быстро вычисляться. 3. M должна легко обращаться.

Фурье переобуславливание Берется однородное уравнение Пуассона(σ=const) и проделывается быстрое дискретное преобразование Фурье коэффициентов матрицы по направлениям φ и z. Получается блочно-диагональная матрица M, составленная из трехдиагональных матриц. Элементы каждого блока следующие:

Прямой солвер на реальных данных PairResolution, ptsTime, secIterations x32x x64x x96x x96x x128x x128x x160x Результаты получены для цилиндра с вложениями. Солвер пробегался в прикладном пакете Matlab 7.10 на узле кластера Mist ***** университета Орегона.

Решение обратной задачи ЭИТ Обратный солвер решает задачу нелинейной оптимизации для нелинейной функции. При решении просходит варьирование неизвестных проводимостей и раствора (saline) и вложений (insertions) и находится функция ошибки между экспериментальными значениями напряжений на электродах и вычисленными значениями. Минимум функции ошибки есть решение обратной задачи.

График функции ошибки

Контурный график функции ошибки

Сравнение напряжений (пара 57-65)

Сравнение напряжений (пара )

Решение обратной задачи для всех пар

Спасибо за внимание