1 Риск изменения процентной ставки. Дюрация Макколи. (McCayley -1938) Пусть - простейший поток платежей, t = 0,1, …, T ; r 0 - безрисковая процентная ставка. Обозначим символом Р(r ) приведенную стоимость потока платежей, соответствующую процентной ставке r :. Если имеем два потока и, обозначаем соответственно Р 1 (r ) и Р 2 (r )

2 В соответствии с общим подходом при фиксированной процентной ставке r = r 0 F 1 предпочтительнее F 2, если Р 1 (r 0 ) > Р 2 (r 0 ). Если Р 1 (r 0 ) = Р 2 (r 0 ), то потоки F 1 и F 2 эквивалентны.

3 Однако, возможны и такие ситуации: Касание кривых P 1 (r) >P 2 (r) при r r 0

4 Дюрация Вычислим производную Разделим обе части равенства на и умножим на :, или

5, где Дюрацией потока платежей называется величина

6 Cмысл и свойства дюрации Дюрация – эластичность приведенной стоимости относительно изменения процентной ставки. Дюрация – средняя продолжительность потока платежей., Если поток состоит из единственного платежа, осуществляемого в момент t=t * ( C t = 0 при, ), то

7 Сравнение потоков платежей с одинаковой приведенной стоимостью Пусть F 1 и F 2 таковы, что P 1 (r 0 )= P 2 (r 0 ) (1) (эквивалентны в смысле приведенной стоимости). Утверждение1 Если выполнено равенство (1) и кроме того D 1 (r 0 )= D 2 (r 0 ), (2) то P 1 (r 0 +Δr) - P 2 (r 0 +Δr) =o(Δr). Т.е. изменению процентной ставки на малую величину Δr соответствует изменение приведенной стоимости на величину более высокого порядка малости, чем Δr.

8 Таким образом равенство дюраций обеспечивает «почти эквивалентность» в малой окрестности точки r = r 0. Утверждение2 Если выполнены равенства (1) –(2) и кроме того при r = r 0, (3) то P 1 (r) >P 2 (r) для всех r r 0 из некоторой окрестности точки r = r 0. Содержательно: поток F 1 предпочтительнее F 2 в смысле риска изменения процентной ставки.

9 Купирование долга активом. Хеджирование риска изменения процентной ставки Если F 1 трактовать как долг, а F 2 - как актив, то условие P 1 (r 0 )= P 2 (r 0 ) означает, что долг купируется (покрывается) активом. Равенство дюраций обеспечивает хеджирование риска изменения процентной ставки (hedge – забор, изгородь, огораживать, охранять - англ). Если дополнительно выполнено условие (3), то обеспечивается «полное» хеджирование – изменение риска только улучшает ситуацию.

10 Пусть поток F 2 (долг) состоит из единственного платежа осуществляемого в момент t=t * :. Поток F 1 (актив) таков, что существуют t, t : t < t * < t для которых Утверждение 3 В описанной ситуации равенства (1) – (2) обеспечивают купирование долга активом и полное хеджирование изменения риска процентной ставки: P 1 (r) >P 2 (r) для всех r r 0. Доказательство. Достаточно проверить неравенство (3).

11 Неравенство (3) равносильно следующему: С учетом соотношений P 1 (r 0 ) =P 2 (r 0 ), D 1 (r 0 )= D 2 (r 0 ) и, приходим к верному неравенству