Презентация «Первообразная и интеграл».

Определение: фигура, ограниченная графиком неотрицательной и непрерывной на отрезке [a; b] функции f, осью Ох и прямыми х = а, х = b. Изображения криволинейных трапеций:

Если f – непрерывная и неотрицательная на отрезке [a; b] функция, а F – ее первообразная на этом отрезке, то площадь S соответствующей криволинейной трапеции равна приращению первообразной на отрезке [a; b], т.е.

Доказательство : Рассмотрим функцию S( x), определенную на отрезке [a; b]. Если a < x b, то S( x ) – площадь той части криволинейной трапеции, которая расположена левее вертикальной прямой, проходящей через точку М ( x: 0 ) ( рис 2.а) Если x = a, то S ( a ) = o. Отметим, что S ( b) = S ( S – площадь криволинейной трапеции ). Нам осталось доказать, что S' ( x ) = f ( x ) (2) По определению производной докажем, что ΔS(x) f ( x ) (3) Δ x при Δ x 0

Выясним геометрический смысл числителя ΔS ( x). Для простоты рассмотрим случай Δ x > 0. Поскольку ΔS ( x) = S ( x + Δ x )- S(x), то ΔS ( x) – площадь фигуры, заштрихованной на рисунке 2, б. Дальнейшее доказательство рассмотрите самостоятельно. Итак, мы получили, что S есть первообразная для f. Поэтому в силу основного свойства первообразных для всех x, принадлежащих промежутку [ a ; b ]. имеем : S ( x ) = F (x) + C, где C – некоторая постоянная, а F – одна из первообразных для функции F. Для нахождения C подставим х = а : F ( a ) + C = S ( a ) = 0, откуда C = - F (a ). Следовательно, S ( x ) = F( x ) – F ( a ). (4) Поскольку площадь криволинейной трапеции равна S ( b ), подставляя x = b в формулу ( 4 ), получим: S = S ( b ) = F ( b ) – F ( a ).

Пример: Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями у = 4 - х²и у=0 Решение: 1. Построим криволинейную трапецию: у = 4 - х²- квадратичная функция, график – парабола, ветви направлены вниз. у = 0 - ось абсцисс. 2. Найдём [а; b]: 4-х²= 0; х² = 4 х = -2 или х = 2, т. е. а = - 2 b = 2 3. Найдём площадь криволинейной трапеции по формуле: S = F(b) – F(а) S=F(2)-F(-2)=10,(6).

1) Какая трапеция называется криволинейной ? (определение вместе с рисунком). 2) Может ли быть функция f отрицательной на отрезке [a; b]? Почему? 3) Определение первообразной. 4) Правила нахождения первообразных. 5) Если f – … на отрезке [a; b] функция, а F – ее первообразная на этом отрезке, то площадь S соответствующей криволинейной трапеции равна … ? Чему?