Решение тригонометрических уравнений

Что называется arcsin a? Что называется arccos a?

Что называется arctg a Назовите формулу нахождения корней уравнения вида sinx = a?

Что называется arcctg a? Назовите формулу нахождения корней уравнения вида cos x = a

Швейцарец по происхождению, Леонард Эйлер прославил Петербургскую и Берлинскую академию наук, но наследие его принадлежит всему человечеству. Родился Эйлер 15 апреля 1707 года в Базеле в семье пастора. Начальное обучение прошел дома под руководством отца, закончил Базельский университет, затем был приглашен работать в создаваемую тогда Академию наук в Петербурге. Именно в России Эйлер становится первым математиком мира, 886 работ - таков итог научной деятельности Эйлера. Долгую и плодотворную жизнь прожил Эйлер. Россия стала для него второй родиной, более 30 лет проработал он в Петербурге. В России выросли пять его детей, 38 внуков. Потомки великого ученого и сейчас живут в нашей стране. Основы тригонометрии и ее символику изложил в своих трудах Эйлер, теперь этот раздел математики изучают школьники всего мира.

Варианта I 2 sin 2 х + sin х – 1 = 0 Вариант II 8 sin 2 х + cos х + 1 = 0 Вариант III 2 cos² х – cosх -1=0

cos (4x – 2) = ½ сos²x сos²x - 2cos x = 0 cos²xsin²x cos²x - sin²x = 1 sin²x 3sin²x– 5sin x – 2 = 0 2sin x – 3cos x = 0 (tgx- 3)(2sin x/2 + 1) = 0 3sin²x+sinx cos x=2cos²x

Однородные тригонометрические уравнения

a sin x + b cos x = 0, где a 0, b 0. При делении уравнения a sin x + b cos x = 0, где a 0, b 0 на cos x 0 корни этого уравнения не теряются. sin²x+cos²x аsin²x+ bsinx cosx + ccos²x= 0 где а 0, b 0, с 0. sin²x cos²x если в этом уравнении есть одночлен аsin²x, то делим уравнение на cos²x 0 (так как sinх и cosх одновременно не могут равняться 0). cos²x b sin x cos x + c cos²x = 0, где b 0, с 0. sin²x (т.е. в уравнении нет одночлена a sin²x), то уравнение решается путем разложения на множители.

2sin x – 3cos x = 0, Разделив обе части уравнения почленно на cos x, получим: 2tg x – 3 = 0; tg x = ; x = arctg + πn, nZ. Ответ: x = arctg + πn, nZ.

sin²х – 3sinх cosх + 2cos²х = 0 делим уравнение на cos 2 x 0 Получим: tg 2 x-3tg x+2 = 0 Введем новую переменную z = tg x, z 2 – 3z + 2 =0 z 1 = 1, z 2 = 2 значит, либо tg x = 1, либо tg x = 2 tg x = 1, х = arctg 1 + πn, x= + πn, nZ tg x = 2, х = arctg 2 + πn, nZ Ответ: x= + πn, х = arctg 2 + πn, nZ

3 sinх cosх + cos²х = 0 Решение. Здесь отсутствует член вида а sin 2 х, значит, делить обе части уравнения на cos²х нельзя. Решим уравнение методом разложения на множители: cosх (3 sinх + cos х) = 0 cos х = 0 или 3 sinх + cos х = 0(однородное уравнение первой степени) х = π/2 + πn 3 tg x + 1 = 0; tg x = -1/3 ; х = arctg (-1/3)+ πn, nZ; х = - π/6 +πn, где nZ Ответ: х = π/2 + πn, х = - π/6 +πn, где nZ

Физкультминутка Упражнение «Египтянин» Цель - укрепление мышц задней стороны шеи для улучшения осанки и предотвращения болей в области шеи. Поза: сидя или стоя Смотрите прямо перед собой, а не вверх и не вниз. Надавите указательным пальцем на подбородок. Сделайте движение шеей назад. Совет: совершая это движение, продолжайте смотреть прямо перед собой, не смотрите вверх или вниз. Для этого представьте, что кто-то, стоящий позади вас, тянет за нить, проходящую через ваш подбородок. Оставайтесь в этом положении в течение 5 секунд. Повторите 10 раз.

Физкультминутка Упражнение «Глядя в небо» Цель этого упражнения - устранение вредных эффектов от неподвижного сидения в течение длительного периода времени и профилактика грыжи межпозвоночных дисков поясничного отдела. Поза: стоя В положении стоя положите руки на бедра. Медленно отклоняйтесь назад, глядя на небо или в потолок. Вернитесь в исходное положение. Повторите 10 раз.

Литература 1. Учебник А.Г.Мордкович Алгебра и начала математического анализа классы в 2 ч (базовый уровень)М.: Мнемозина, Газета «Математика» издательский дом «Первое сентября» Социальная сеть работников образования nsportal.ruhttp:// сеть работников образования nsportal.ru