К ОДУВАННЯ ЧИСЕЛ Робота групи Математики

Д ВІЙКОВЕ КОДУВАННЯ В КОМП ЮТЕРІ Вся інформація, яку обробляє комп'ютер має бути представлена двійковим кодом за допомогою двох цифр: 0 і 1. Ці два символи прийнято називати двійковими цифрами або бітами. За допомогою двох цифр 0 і 1 можна закодувати будь-яке повідомлення. Це з'явилося причиною того, що в комп'ютері обов'язково повинно бути організовано два важливі процеси: кодування і декодування. Кодування – перетворення вхідної інформації у форму, що сприймається комп'ютером, тобто двійковий код. Декодування – перетворення даних з двійкового коду у форму, зрозумілу людині. Привіт!

Ч ОМУ ДВІЙКОВЕ КОДУВАННЯ З погляду технічної реалізації використання двійкової системи числення для кодування інформації виявилося набагато простішим, ніж застосування інших способів. Дійсно, зручно кодувати інформацію у вигляді послідовності нулів і одиниць, якщо представити ці значення як два можливі стійкі стани електронного елементу: 0 – відсутність електричного сигналу; 1 – наявність електричного сигналу. Ці стани легко розрізняти. Недолік двійкового кодування – довгі коди. Але в техніці легко мати справу з великою кількістю простих елементів, чим з невеликим числом складних. Способи кодування і декодування інформації в комп'ютері, насамперед, залежить від виду інформації, а саме, що повинне кодуватися: числа, текст, графічні зображення або звук.

С ИСТЕМА ЧИСЛЕННЯ Для запису інформації про кількість об'єктів використовуються числа. Числа записуються за допомогою набору спеціальних символів. Система числення спосіб запису чисел за допомогою набору спеціальних знаків, званих цифрами.

В ИДИ СИСТЕМ ЧИСЛЕННЯ У позиційних системах числення величина, що позначається цифрою в записі числа, залежить від її положення в числі (позиції). 211 У непозиційних системах числення величина, яку позначає цифра, не залежить від положення в числі. XXI Системи числення ПозиційніНепозиційні

Н ЕПОЗИЦІЙНІ СИСТЕМИ ЧИСЛЕННЯ Канонічним прикладом фактично непозиційної системи числення є римська, в якій як цифри використовуються латинські букви: I позначає 1, V - 5, X - 10, L - 50, C - 100, D - 500, M Натуральні числа записуються за допомогою повторення цих цифр. Наприклад, II = = 2, тут символ I позначає 1 незалежно від місця в записі числа. Для правильного запису великих чисел римськими цифрами необхідно спочатку записати число тисяч, потім сотень, потім десятків і, нарешті, одиниць. Приклад: число Одна тисяча M, дев'ять сотень CM, вісімдесят LXXX, вісім VIII. Запишемо їх разом: MCMLXXXVIII. MCMLXXXVIII = 1000+( )+( ) = 1988 Для зображення чисел в непозиційній системі числення неможна обмежиться кінцевим набором цифр. Крім того, виконання арифметичних дій в них вкрай незручно.

П ОЗИЦІЙНІ СИСТЕМИ ЧИСЛЕННЯ У позиційних системах числення величина, що позначається цифрою в записі числа, залежить від її положення в числі (позиції). Кількість використовуваних цифр називається основою системи числення. Наприклад, 11 – це одинадцять, а не два: = 2 (порівняєте з римською системою числення). Тут символ 1 має різне значення залежно від позиції в числі.

П ЕРШІ ПОЗИЦІЙНІ СИСТЕМИ ЧИСЛЕННЯ Найпершою такою системою, коли рахунковим "приладом" служили пальці рук, була пятіркова система. Деякі племена на філіппінських островах використовують її і в наші дні, а в деяких цивілізованих країнах її релікт, як вважають фахівці, зберігся тільки у вигляді шкільної пятибалльной шкали оцінок.

Д ВАНАДЦЯТКОВА СИСТЕМА ЧИСЛЕННЯ Наступною після пятіркова виникла дванадцяткова система числення. Виникла вона в стародавньому Шумерові. Деякі учені вважають, що така система виникала у них з підрахунку фаланг на руці великим пальцем. Широкого поширення набула 12-кова система числення в XIX столітті. На її широке використання у минулому явно указують назви числівників в багатьох мовах, а також способи відліку часу, що збереглися у ряді країн, грошей і співвідношення між деякими одиницями вимірювання. Рік складається з 12 місяців, а половина доби складається з 12 годин. Елементом дванадцяткової системи в сучасності може служити рахунок дюжинами. Перші три ступені числа 12 мають власні назви: 1 дюжина = 12 штук; 1 гросс = 12 дюжин = 144 штуки; 1 маса = 12 гроссов = 144 дюжини = 1728 штук. Англійський фунт складається з 12 шилінгів.

Ш ЕСТИДЕСЯТКОВА СИСТЕМА ЧИСЛЕННЯ Наступна позиційна система числення була придумана ще в Стародавньому Вавілоні, причому вавілонська нумерація була шестидесяткова, тобто в ній використовувалося шістдесят цифр! Пізніше ця система використовувалася арабами, а також стародавніми і середньовічними астрономами. Шестидесяткова система числення, як вважають дослідники, являє собою синтез вже вищезазначених пятіркової і дванадцяткової систем.

Я КІ ПОЗИЦІЙНІ СИСТЕМИ ЧИСЛЕННЯ ВИКОРИСТОВУЮТЬСЯ ЗАРАЗ ? В даний час найбільш поширена десяткова, двійкова, вісімкова і шестнадцяткова системи числення. Двійкова, вісімкова (в даний час витісняється 16-ковою) і шестидесяткова система часто використовується в областях, пов'язаних з цифровими пристроями, програмуванні і, взагалі, комп'ютерній документації. Сучасні комп'ютерні системи оперують інформацією, представленою в цифровій формі. Числові дані перетворюються в двійкову систему числення.

Д ЕСЯТКОВА СИСТЕМА ЧИСЛЕННЯ Десяткова система числення позиційна система числення за основою 10. Припускають, що основа 10 пов'язана з кількістю пальців рук у людини. Найбільш поширена система числення в світі. Для запису чисел використовуються символи 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, що називають арабськими цифрами. Сучасні цифри Арабські цифри Індійські цифри

А ЛФАВІТ ДЕСЯТКОВОЇ, ДВІЙКОВОЇ, ВІСІМКОВОЇ І ШІСТНАДЦЯТКОВОЇ СИСТЕМ ЧИСЛЕННЯ Система численняОсноваАлфавіт цифр Десяткова10 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Двійкова2 0, 1 Вісмкова8 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Шістнадцяткова16 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

В ІДПОВІДНІСТЬ ДЕСЯТКОВОЇ, ДВІЙКОВОЇ, ВІСІМКОВОЇ І ШЕСТНАДЦЯТКОВОЇ СИСТЕМ ЧИСЛЕННЯ p= p= p= p= ABCDEF Кількість використовуваних цифр називається основою системи числення. При одночасній роботі з декількома системами числення для їх розрізнення основа системи зазвичай указується у вигляді нижнього індексу, який записується в десятковими цифрами: це число 123 в десятковій системі числення; те ж число, але в двійковій системі. Двійкове число можна розписати у вигляді: = 1* * * * * * *2 0.

П ЕРЕВЕДЕННЯ ЧИСЕЛ З ОДНІЄЇ СИСТЕМИ ЧИСЛЕННЯ В ІНШУ Щоб перевести число з позиційної системи числення з основою p в десяткову, треба представити це число у вигляді суми степенів p і провести вказані обчислення в десятковій системі числення. Наприклад, переведемо число в десяткову систему числення. Для цього представимо це число у вигляді степенів двійки і проведемо обчислення в десятковій системі числення = 1* * * *2 0 = =1*8 + 0*4 + 1*2 + 1*1 = = = Розглянемо ще один приклад. Переведемо число 52,74 8 в десяткову систему числення. 52,74 8 = 5* * * *8 -2 = = 5*8 + 2*1 + 7*1/8 +4*1/64 = = , , = 42,

П ЕРЕВЕДЕННЯ ЧИСЕЛ З ОДНІЄЇ СИСТЕМИ ЧИСЛЕННЯ В ІНШУ Переведення з десяткової системи числення в систему числення з основою p здійснюється послідовним діленням десяткового числа і його десяткових часток на p, а потім виписуванням останньої частки і залишків в зворотному порядку. Переведемо десяткове число в двійкову систему числення (основа системи числення p =2). У результаті отримали =

З АДАЧІ : У мене 100 братів. Молодшому років, а старшому 1111 років. Старший вчиться в 1001 класі. Чи можливо таке? Коли 2 х 2 дорівнює 100? Відмітьте і послідовно поєднайте на коорди- натній площині точки, координати яких записані у двійковій системі числення: 1(001 2, ), 2(001 2, ), 3(000 2, ), 4(000 2, ), 5(010 2, ), 6(010 2, ), 7(111 2, ), 8(111 2, ), 9(1000 2, ), 10(1000 2, ), 11(1001 2, ), 12( ), ), 13(1100 2, ), 14(1100 2, ), 15(1001 2, ), 16(1001 2, ), 17(111 2, ), 18(111 2, ), 19(011 2, ), 20(000 2, ), 21(001 2, )

З АДАЧІ Запишіть число 1945 в римскій системеі числення. Чому будуть дорівнювати числа 174 8, 2E 16, 101,101 2 в десятковій системі числення? Як буде записуватись число в двійковій системі числення? в вісімковій? Порівняйте числа: VVV і 555. Які числа записані наступними римськими числами: MCMXCIX; CMLXXXVIII; MCXLVII?