Задачи с параметрами Цель данного курса - показать учащимся разнообразие задачи по теме, задачей которого является научить методам решения таких задач на основе часто встречаемых типов. Курс рассчитан на последовательное изучение его, начиная с 8 класса, так в I полугодие учащимся 8 классов можно предложить изучение: - Линейные уравнения, системы уравнений, неравенства, содержащие параметры. В 9 классе : - Квадратные уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств второго порядка. В 10 классе: - Иррациональные уравнения и неравенства; - Показательные и логарифмические уравнения и неравенства; - Тригонометрические уравнения и неравенства. В 11 классе: - Применение производной; - Графический метод решения и метод решения относительно параметра;

Тематический план Тема Количество часов § 1. Линейные уравнения, 5ч § 2. Системы линейных уравнений 5 ч Задачи, предлагаемые на экзаменах § 3. Линейные неравенства 5 ч. Зачет 2 ч. Итого: 17 ч.

§ 1. Линейные уравнения Определение: Уравнение вида (1) А * Х = В, где А, В - выражения, зависящие от параметров, Х - неизвестное, называется линейным уравнением с параметрами. Схема исследования: Если А=0, В0, то имеем 0 * Х = В, уравнение не имеет решений. Если А=0, В=0, то 0 * Х = 0, уравнение имеет решением множество всех действительных чисел. Если А0, В - любое, то уравнение имеет единственное решение. Замечание: Если линейное уравнение не представлено в виде (1), то сначала нужно привести его к стандартному виду (1) и только после этого проводить исследование.

П 1. Для всех значений параметра К решить уравнение (К+4)*Х=2К+1. Решение: Уравнение записано в стандартном виде. Если К+4=0, т.е. К=-4, то уравнение имеет вид 0 * Х = -7, т.е. не имеет решений: Ø. Если К+4 0, т.е. К -4, то уравнение имеет единственное решение Ответ: если К=-4, то Ø, если К -4, то

Для всех значений параметра а решить уравнение Решение: Запишем уравнение в стандартном виде 1. Если, т.е., то имеем 0 * Х = 0, решением является множество действительных чисел: 2. Если, то Ответ: Если, то, Если, то х=-4.

Для всех значений параметра решите уравнение: Решение: если, т.е. при р=1 уравнение имеет вид 0 * Х = 2, следовательно, х Ø, при р=-1, уравнение имеет вид 0 * Х = 0, следовательно, х. если, то Ответ: если р=1, х Ø; если р=-1, х ; если,.

Для всех значений параметра решить уравнение: Решение: При а = -1 уравнение не имеет смысла, поэтому оно при а = -1 не имеет решения: х Ø. При а -1, то уравнение равносильно системе:

если 3а-2=0; т.е., то уравнение имеет вид 0 * Х =, х Ø. если то теперь найдем те значения параметра а, при которых х = 2а, т.е. система не имеет решения. Имеем: Следовательно, при а = 0 или а = - 1 исходное уравнение также как и при не имеет решения.

Ответ: если, то х Ø если, то

Для всех значений параметра а решить уравнение: Решение: уравнение равносильно системе: если а=2, то 0 * Х = -7, х Ø если, то.

Найдем значения параметра, при которых х=2а или имеем Таким образом, если, то исходное уравнение также не имеет решения. Ответ:, то х Ø;, то.

При каких значениях параметра а уравнение имеет единственное решение, принадлежащие лучу. Решение: 1.. Если а = 1, то 0 * Х = - 4, х Ø Если а = - 1, то 0 * Х = 0, Условия задачи не выполняются

если, то по условию задачи х Откуда из найденного множества значений а надо исключить а = -1, Ответ :

П 7. При каких значениях параметра а и в уравнение имеет не менее двух различных решений. Решение: Если линейное уравнение имеет 2 и более решений, то оно имеет бесконечное множество решений. Значит,. Ответ: при,.

П 8. При каких значениях параметра а и в уравнение не имеет решений. Решение: Ответ: при, (или, ).

Задачи для самостоятельного решения 1. Решить уравнение

Решение: Если 5р + 1 = 0, т.е., то 0 * Х = 0, Если, то х = - 5р – 1.

Решить уравнение ах – а = х – 1. Решение: Х * (а - 1) = а – 1. Если а – 1 =0, т.е. а = 1, 0 * Х = 0, Есл и, то х = 1. Ответ: Если а – 1 =0, то Если, то х = 1.

. Решить уравнение Решение: если р = 2, то 0 * Х = 4, х Ø если р = - 2, то 0 * Х = 0, если, то, если, то Ответ: если р = 2, х Ø; если р = - 2, если,.

. Решить уравнение если р = 1, то 0 * Х = 0, если р = - 1, то 0 * Х = 4, х Ø Ответ: если р = 1, если р = - 1, х Ø; Ø;,.

Решить уравнение, т.е. то 0 * Х = - 3 – 2р, причем, если – 3 – 2р = 0, т.е., то 0 * Х = 0, или, то 0 * Х = - 3 – 2р х Ø. 1.если 2.если, то Ответ: если,, если,, х Ø; если,

Системы уравнений П. 1. Определение Система, Где,,,,, - выражения, зависящие от параметров, х, у – неизвестные, называется системой двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными в параметрах.

Если,,, системы зависят от нескольких параметров, то исследовать систему удобно с помощью определителей системы: = = -, х = = -, У = = -.

Теорема. Если главный определитель 0, то система имеет единственное решение, определяемое по правилу Крамера: х =, у =. Если = 0 и хотя бы один из вспомогательных определителей х или у не равен нулю, то система не имеет решений. В случае = х = У=0 систему надо исследовать дополнительно При этом, как правило, система сводится к одному линейному уравнению.

В случае = 0 часто бывает удобно исследовать систему следующим образом: Решая уравнение = 0, найдем конкретные значения параметров или выразим один из параметров через остальные и подставим эти значения параметров в систему. Тогда получим систему с конкретными числовыми коэффициентами или с меньшим числом параметров, которую и надо исследовать.

Для всех значений параметра а решить систему уравнений: Решение: Из второго уравнения найдем х = 1 – ау, и подставим в первое уравнение: а (1 – ау) – 3ау = 2а а (а + 3) у = а + 3. Возможны случаи: 1) а = 0. тогда уравнение имеет вид 0 * у = 3 у Ø. Следовательно, при а = 0 система не имеет решений. 2) а = - 3. Тогда 0 * у = 0 у При этом х = 1 – ау = 1 + 3у. 3) а 0, а - 3. Тогда =2. х = 1 – ау = 1 – а Ответ: Если а = 0, то (х;у) Если а = - 3, то х = 1 + 3у, у ; Если а 0, а- 3, то х = 2, у =. Ø

Для всех значений параметра а решить систему уравнений : Решение: Найдем определители системы = = (а+5) (5а+6) - (2а+3) (3а+10) = а (2-а), х = = (3а+2) (5а+6) - (2а+3) (2а+4) = а (11а+14), у = = (а+5) (2а+4) - (3а+2) (3а+10) = - а (7а+22).

1). = а (2-а) 0, а 0 и а - 2, тогда = =, 2) = а (2-а) = 0 а = 0 или а = 2. у = = - =. При а = 0, определители х = у = 0. Тогда система имеет вид: 5х + 3у = 2 х, у =.

При а = 2, определитель х 0. этого достаточно, чтобы утверждать, что система не имеет решений. Ответ: если а 0 и а 2, то х =, у = ; Если а = 0, то х, у = ; Если а = 2, то (х;у) Ø. ;

Линейные неравенства П.1. Определение Неравенства Ах > B, Ax < B, Ax B, Ax B, где А, В - выражения, зависящие от параметров а х - неизвестное, называется линейными неравенствами с параметрами

Решить неравенство с параметрами - значит для всех значений параметров найти множество решений заданного неравенства. Неравенство вида Ах > B, решается по схеме: 1) если А > 0, то х > В/А. 2) если А < 0, то х < В/А. 3) если А = 0, то неравенство имеет вид 0 * х > В. При В 0 неравенство имеет пустое множество решений; при В < 0 решением неравенства будет множество всех действительных чисел.

Для всех значений параметра а решить неравенство (р - 1) х > - 1 Решение: 1) р - 1 > 0 р > 1, тогда х > х > р + 1; 2) р - 1 < 0 р < 1, тогда х < х < р + 1; 3) р - 1 = 0 р = 1, неравенство имеет вид 0*х > 0, х Ø. Ответ: если р > 1, то х > р + 1; если р < 1, то х < р + 1; если р = 1, то х Ø.

При каких значениях а и в система не имеет решений Решение системы сведем к исследованию линейного уравнения. Умножив второе уравнение системы на (- 5), первое на (3) и сложим уравнения: 12у – 10ау = 3 – 5в, у (12 – 10а) = 3 – 5в (1). Уравнение (1) не имеет решения, если 12 – 10а = 0 и 3 – 5в 0, т.е. а =, в. Ответ: а =, в.

При каких значениях а прямые 2х + ау = - 2 и 4х + 3у = 3 пересекаются? Прямые пересекаются, если система уравнений имеет единственное решение. Первое уравнение умножаем на (- 2) и сложим со вторым: - 2ау + 3у = 4 + 3, у( - 2а + 3) = 7. Если – 2а + 3 0, т.е. а, то система имеет единственное решение. Ответ: а.

. При каких значениях а и в система уравнений не имеет решений. Решение: Первое уравнение умножим на 3 и сложим со вторым: 3ах + 6х = в + 3, т.е. х (3а + 6) = в (2). Если 0*х = в, то уравнение (2) не имеет решений, а следовательно, и исходная система уравнений. Значит а = - 2, в 0. Ответ: а = - 2, в 0.

Рецензия Этот раздел математики является, по большому счету, «абитуриентским»: считается, что ученик, изучивший школьную программу, сможет перенести методы решения уравнений и неравенств на уравнения и неравенства с параметрами. Трудности решения такого рода задач вызваны прежде всего тем, что даже при решении простейших уравнений и неравенств, содержащих параметры, приходится производить ветвление всех значений параметра на отдельные классы, при каждом из которых задача имеет решение. Автор подробно рассматривает методы решения линейных уравнений и сводящихся к ним уравнений с одним и двумя параметрами, анализирует подходы к задачам на решение уравнений при всех значениях параметров и на поиск таких значений, при которых решения уравнений существуют и удовлетворяют некоторым дополнительным условиям. Рассматриваются системы уравнений с двумя неизвестными, исследовать которые удобнее всего с помощью правила Крамера. Отдельно выделены задачи, предлагаемые ЦТ по математике. Линейные неравенства с параметрами требуют исключительной точности выполнения преобразований. В элективном курсе разобрано очень большое количество задач. Особое внимание уделяется отработке навыков равносильных преобразований и перебора всех возможных вариантов без исключения. канд. Физ.-мат. наук, доцент кафедры естественнонаучных дисциплин ГОУ «ЧРИО» Ярдухин А.К.