Фрактальный анализ финансовых временных рядов. Дубовиков Михаил Михайлович Директор по стратегии

Финансовые временные ряды. Движения цен большинства финансовых инструментов внешне похожи, на разных масштабах времени и цены. По внешнему виду графика наблюдатель не может сказать, относятся ли данные к недельным, дневным или же часовым изменениям.

Финансовые временные ряды. Ценовой график в виде «свечей».

Финансовые временные ряды. Дневные, часовые и десятиминутные графики индекса ММВБ

Фракталы Определение размерности (F. Hausdorff, 1919) (для компактного множества в произвольном метрическом пространстве) Мотивация : (D=1,2,3)

Фракталы Фрактал – это множество, для которого хаусдорфова размерность D строго больше его топологической размерности D T Определение (B. Mandelbrot):

Фракталы Кривая Коха. Внутренняя размерность.

Фракталы Ковер Серпинского. Клеточная размерность.

Фракталы Береговая линия Британии (L.F. Richardson, 1961)

Фракталы Финансовые временные ряды. Клеточная размерность. Фракталы

Финансовые временные ряды. Показатель Херста H Для гауссовых случайных процессов D=2-H Фракталы

Финансовые временные ряды. Показатель Херста H

Фракталы Сравнение результатов использования различных аппроксимаций для модельных фракталов

Фракталы Финансовые временные ряды. Асимптотика для площади покрытий.

Фракталы Финансовые временные ряды. Размерность минимального покрытия. Индекс фрактальности. Для функции f(t), определенной на [a,b] введем равномерное разбиение отрезка и рассмотрим минимальное покрытие графика f(t). Тогда:

Фракталы Финансовые временные ряды. Размерность минимального покрытия. Индекс фрактальности. Введем обозначение: Поскольку Назовем - индексом фрактальности - размерностью минимального покрытия, где то

Фрактальный анализ финансовых временных рядов. Быстрый выход на степенную ассимптотику.

Фрактальный анализ финансовых временных рядов. Типичное поведение ряда и функции

Фрактальный анализ финансовых временных рядов. Доли основных состояний для некоторых акций на американском фондовом рынке. Временной ряд цен Броуновское движение ТрендФлэт Alcoa Inc23 %43 %34 % Boeing Corp24 %37 %39 % IBM25 %39 %36 % Microsoft Corp26 %36 %38 % Exxon Mobile Corp 15 %50 %35 %

Фрактальный анализ финансовых временных рядов. Быстрый выход на степенную ассимптотику. Типичная диаграмма для вычисления при длине исходного ряда 4096 дней:

Эффект увеличения крупномасштабных колебаний при уменьшении мелкомасштабных. Введем где,

Эффект увеличения крупномасштабных колебаний при уменьшении мелкомасштабных. Индикатор Старченко.

Финансовые временные ряды. История. Стохастический подход. L. Bachelier (1900) ПЕРВЫЙ ПОСТУЛАТ. Приращения цены на непересекающихся временных интервалах – независимы. ВТОРОЙ ПОСТУЛАТ. Приращения цены на любом интервале имеют нормальное (гауссово) распределение с плотностью

Финансовые временные ряды. История. Стохастический подход. Отказ от постулата независимости. 1.Fractional Brownian motion 2.Autoregressive conditional heteroscedasticity (ARCH)

Отказ от постулата нормальности распределения. Levi flight Финансовые временные ряды. История. Стохастический подход.

Финансовые временные ряды. История. Динамический подход. 90-е гг. 19 в. – Формулировка принципов Ч. Доу ( Ch. Dow ). 30-е гг. 20 в. – Утверждение концепции. Создание основ технического анализа ( J. Magee, W. Gann, R. Elliott, и т.д.) 80-е гг. 20 в. – Использование методов теории динамического хаоса. Теорема Такенса. (D. Ruelle, F. Takens, N. Packard)

Стохастический подход Динамический подход Econophysics, quantitative finance Финансовые временные ряды. История. (90-е гг. 20 в.)

« Существуют многочисленные явления, в которых через определенное время разрушается любой мыслимый порядок. Но сколь бы хаотичной не становилась жизнь, на сколь бы мелкие осколки ни разбивалась всякая регулярность, одна мощная крепость остается незыблемой, гордо возвышаясь над турбулентным хаосом. Эта крепость – самоподобие, инвариантность относительно изменения масштаба, или скейлинга». Manfred R. Schroeder Фракталы

Литература: 1. Dubovikov M.M., Starchenko N.S., Dubovikov M.S. Dimension of the minimal cover and fractal analysis of time series // Physica A 339. Р. 591 – Dubovikov M.M., Starchenko N.S. Variation index and its applications to analysis of fractal structures // Sci. Almanac Gordon Р. 1 – Bachelier L. Theory of Speculation (Translation of 1900 French edn) / P.H. Cootner (Ed.) // The Random Character of Stock Market Prices, The MIT Press, Cambridge Р. 17 – Mandelbrot B. The variation of certain speculative prices // J. Business Р. 394 – Mandelbrot B. The Fractal Geometry of Nature. W.H. Freeman. San Francisco, 1982.

Спасибо за внимание Дубовиков Михаил Михайлович