Урок по теме: «Способы решения смешанных уравнений» 11 класс Учитель Зеленина О.Д.

«Способы решения смешанных уравнений» План проведения урока: План проведения урока: оргмомент (1 минута) оргмомент (1 минута) постановка цели урока (1 минута) постановка цели урока (1 минута) повторение ранее изученного материала (5 минут) повторение ранее изученного материала (5 минут) проверка домашнего задания (7 минут) проверка домашнего задания (7 минут) решение упражнений на доске (15 минут) решение упражнений на доске (15 минут) работа в группах (20 минут) работа в группах (20 минут) обсуждение решений (15 минут) обсуждение решений (15 минут) обучающая самостоятельная работа (15 минут) обучающая самостоятельная работа (15 минут) проверка решений (7 минут) проверка решений (7 минут) итог урока (2минуты) итог урока (2минуты)

Уравнение Что называют уравнением? Что называют уравнением? Что значит решить уравнение? Что значит решить уравнение? Что называют корнем уравнения? Что называют корнем уравнения? Какие уравнения называют равносильными? Какие уравнения называют равносильными? Что называют областью определения уравнения? Что называют областью определения уравнения? Назовите типы уравнений. Назовите типы уравнений. Какие уравнения называют смешанными? Какие уравнения называют смешанными? Назовите стандартные методы решения уравнений Назовите стандартные методы решения уравнений Назовите нестандартные методы решения уравнений (решение опирается на монотонность, ограниченность, четность, периодичность). Назовите нестандартные методы решения уравнений (решение опирается на монотонность, ограниченность, четность, периодичность).

Ответы Уравнением называется равенство, содержащее неизвестное, обозначаемое буквой. Уравнением называется равенство, содержащее неизвестное, обозначаемое буквой. Решить уравнение – это значит найти все его корни или доказать, что уравнение корней не имеет. Решить уравнение – это значит найти все его корни или доказать, что уравнение корней не имеет. Корнем уравнения называется значение переменной, при подстановке которого в уравнение получается верное равенство. Корнем уравнения называется значение переменной, при подстановке которого в уравнение получается верное равенство. Примеры: Примеры: 1. х+ х= 0 один корень х = 0; 1. х+ х= 0 один корень х = 0; 2. (х² +2х - 12) = 0- два корня х = 3, х = - 3; 2. (х² +2х - 12) = 0- два корня х = 3, х = - 3; 3. sin(πх) = 0 – бесконечное число корней хZ; 3. sin(πх) = 0 – бесконечное число корней хZ; 4. х² + 2х + 1 = (х + 1)² верно при всех хR; 4. х² + 2х + 1 = (х + 1)² верно при всех хR; 5. х² = х² + 1 – нет корней. 5. х² = х² + 1 – нет корней. 2. Два уравнения называются равносильными, если множества их корней совпадают. 2. Два уравнения называются равносильными, если множества их корней совпадают. Примеры: Примеры: 1. х² = х+2и х² - х -2 = 0 - равносильны; 1. х² = х+2и х² - х -2 = 0 - равносильны; 2. х² +2 = 1 и sin3х = 2 - равносильны; 2. х² +2 = 1 и sin3х = 2 - равносильны; 3. = 2х – 6 и х = (2х -6)² - неравносильны 3. = 2х – 6 и х = (2х -6)² - неравносильны

Смешанное уравнение 2 Смешанное уравнение это уравнение вида 2 Смешанное уравнение это уравнение вида f(x) = g(x), где функции f и g являются аналитическими функциями, и по крайней мере одна из них не является алгебраической. f(x) = g(x), где функции f и g являются аналитическими функциями, и по крайней мере одна из них не является алгебраической.аналитическими функциями алгебраическойаналитическими функциями алгебраической Нестандартные способы решения уравнений – решение уравнений, которое опирается на монотонность, ограниченность, четность, периодичность и Нестандартные способы решения уравнений – решение уравнений, которое опирается на монотонность, ограниченность, четность, периодичность и Обычно это уравнения, содержащие показательные, логарифмические, тригонометрические, обратные тригонометрические функции, например: Обычно это уравнения, содержащие показательные, логарифмические, тригонометрические, обратные тригонометрические функции, например: cosx = x cosx = x logx = x 5 logx = x 5 2x = logx + x x = logx + x5 + 40

«Способы решения уравнений». 1. Разложение на множители 1. Разложение на множители «Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю, а другой при этом имеет смысл». «Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю, а другой при этом имеет смысл». Произведение нескольких равно 0, если хотя бы один из них равен 0, а остальные при этом существуют. Произведение нескольких равно 0, если хотя бы один из них равен 0, а остальные при этом существуют. х(х -1)(х² - 4) = 0 х(х -1)(х² - 4) = 0 х – 1= 0 или х² -4 = 0 или х =0 х – 1= 0 или х² -4 = 0 или х =0 х = 1 х = 2 или х = -2 х = 1 х = 2 или х = -2 Ответ: 0; 1; 2; -2. Ответ: 0; 1; 2; -2.

Равносильные преобразования

Возведение в квадрат обеих частей уравнения и проверка корней Проверка корней: Проверка корней: Если x=-1, то при подстановке 3+2=-1, 5=-1 неверно. Если x=-1, то при подстановке 3+2=-1, 5=-1 неверно. Если х=3, то при подстановке: 1+2=3, 3=3 верно. Если х=3, то при подстановке: 1+2=3, 3=3 верно. Ответ: 3 Ответ: 3

Решить уравнение, используя свойства монотонности функции. Для решения некоторых уравнений полезно воспользоваться свойством монотонной функции. Суть свойства состоит в том, что если нужно решить уравнение f(x)=g(x), где f(x) монотонно возрастает, а g(x) монотонно убывает (или константа), то, если решение x=x0 существует, оно единственно. Для решения некоторых уравнений полезно воспользоваться свойством монотонной функции. Суть свойства состоит в том, что если нужно решить уравнение f(x)=g(x), где f(x) монотонно возрастает, а g(x) монотонно убывает (или константа), то, если решение x=x0 существует, оно единственно. Действительно, f(x) g(x) при x>x0 в силу монотонности. Действительно, f(x) g(x) при x>x0 в силу монотонности.

Способ- использование монотонности Левая часть уравнения представляет из себя монотонно возрастающую функцию, правая – постоянное число. Значит, если решение есть – то оно единственное. Несложным подбором убеждаемся, что это число. Левая часть уравнения представляет из себя монотонно возрастающую функцию, правая – постоянное число. Значит, если решение есть – то оно единственное. Несложным подбором убеждаемся, что это число.

Решение уравнений в группах 1 группа: 1 группа: lg cos x + log0,1 sin 2 x = lg 7. lg cos x + log0,1 sin 2 x = lg 7. 2 группа: 2 группа: 3 группа: 3 группа: 3 1/2+log 3 cosx + 6 1/2 = 9 1/2+log 9 sinx 3 1/2+log 3 cosx + 6 1/2 = 9 1/2+log 9 sinx 4 группа. 4 группа. (tg x)sin x = (ctg x)cos x. (tg x)sin x = (ctg x)cos x.

Итак, при решении таких задач: установить, что уравнение составлено из разномонотонных функций, то есть что означает, что если решение есть, то оно единственно; подобрать целый корень. установить, что уравнение составлено из разномонотонных функций, то есть что означает, что если решение есть, то оно единственно; подобрать целый корень. При решении уравнений полезна следующая теорема: Если y=f(x) - монотонно возрастающая функция, то уравнение f(x)=x и f(f(x))=x эквиваленты. При решении уравнений полезна следующая теорема: Если y=f(x) - монотонно возрастающая функция, то уравнение f(x)=x и f(f(x))=x эквиваленты.

Решение уравнений - использование экстремальных свойств функций. Оценки Некоторые задачи удобно решать, используя оценки левой и правой частей уравнения. В обобщённом виде решение выглядит так: Некоторые задачи удобно решать, используя оценки левой и правой частей уравнения. В обобщённом виде решение выглядит так: Решить уравнение: f(x)=g(x), и при этом оно не решается никак. Тогда может оказаться, что f(x) c2 или g(x)=c2. При этом, если c2=c1, то исходное уравнение может иметь решение – корень уравнения f(x)=c1 (этот корень должен быть и корнем g(x)=c1 ), а если c1 c2 или g(x)=c2. При этом, если c2=c1, то исходное уравнение может иметь решение – корень уравнения f(x)=c1 (этот корень должен быть и корнем g(x)=c1 ), а если c1

Спасибо за внимание.