Постановка задачи нелинейного программирования. Теорема Куна-Таккера Содержание лекции: Формулировка общей задачи математического программирования Формулировка общей задачи математического программирования Формулировка общей задачи математического программирования Формулировка общей задачи математического программирования Классификация задач нелинейного программирования Классификация задач нелинейного программирования Классификация задач нелинейного программирования Классификация задач нелинейного программирования Понятие о функции Лагранжа Понятие о функции Лагранжа Понятие о функции Лагранжа Понятие о функции Лагранжа Теорема Куна-Таккера. Интерпретация множителей Лагранжа Теорема Куна-Таккера. Интерпретация множителей Лагранжа Теорема Куна-Таккера. Интерпретация множителей Лагранжа Теорема Куна-Таккера. Интерпретация множителей Лагранжа

Формулировка общей задачи математического программирования Постановка задачи нелинейного программирования. Теорема Куна-Таккера (часто формулируют без условий неотрицательности) (часто формулируют без условий неотрицательности) 2/11

Вышеприведённым формулировкам отвечают: задача линейного программиро- вания z(x) и все qi (x), i =1…m – линейные функции задача нелинейного программиро- вания среди z(x) и qi (x), i =1…m есть хотя бы одна нелинейная функция Постановка задачи нелинейного программирования. Теорема Куна-Таккера 3/11

Постановка задачи нелинейного программирования. Теорема Куна-Таккера Повторение 4/11

Классификация задач нелинейного программирования Задачи нелинейного программирования Экстремальные задачи без ограничений Задачи выпуклого программирования Задачи дробно- линейного программирования Задачи квадратичного программирования Прочие Задачи невыпуклого программирования Постановка задачи нелинейного программирования. Теорема Куна-Таккера 5/11

Понятие о функции Лагранжа Решение любой задачи математического программирования (в том числе нелинейного) можно свести к решению задачи нелинейного программирования без ограничений. Для этого необходимо на основе исходной ЗМП построить функцию Лагранжа: Постановка задачи нелинейного программирования. Теорема Куна-Таккера В отсутствие условий неотрицательности: 6/11

Теорема Куна- Таккера Постановка задачи нелинейного программирования. Теорема Куна-Таккера её единственный оптимум x1*,x2*,…,x n * (если имеется) соответствует единственной седловой точке функции Лагранжаеё единственный оптимум x1*,x2*,…,x n * (если имеется) соответствует единственной седловой точке функции Лагранжа Если исходная задача строго выпукла и все ограничения – равенства любой из существующих оптимумов соответствует седловой точке функции Лагранжалюбой из существующих оптимумов соответствует седловой точке функции Лагранжа Если исходная задача выпукла и все ограничения – равенства любой из существующих оптимумов соответствует точке Куна-Таккера функции Лагранжалюбой из существующих оптимумов соответствует точке Куна-Таккера функции Лагранжа любая седловая точка обязательно является точкой К.Т.; обратное не всегда вернолюбая седловая точка обязательно является точкой К.Т.; обратное не всегда верно точка К.Т. не обязательно соответствуют оптимумам исходной задачиточка К.Т. не обязательно соответствуют оптимумам исходной задачи В остальных случаях см. следующий слайд 7.4 7/11 Это утверждение называется теоремой Куна-Таккера Если задача строго выпукла, точек Куна-Таккера не более одной. Если т. К.-Т. имеется, то в ней находится оптимум.

Точка Куна-Таккера (x 1 *,x 2 *,…,x n *,λ 1 *, λ 2 *, …, λ т+n *) определяется следующими условиями Точка Куна-Таккера (x 1 *,x 2 *,…,x n *,λ 1 *, λ 2 *, …, λ т+n *) определяется следующими условиями 8/11

Переменные λ i называются множителями Лагранжа. Экономическая интерпретация множителей Лагранжа, соответствующих оптимальному решению, аналогична интерпретации двойственных оценок ограничений ЗЛП Они показывают величину изменения целевой функции в расчёте на единицу изменения свободного члена ограничения, которому соответствует множитель Лагранжа, в очень малой окрестности оптимума Они показывают величину изменения целевой функции в расчёте на единицу изменения свободного члена ограничения, которому соответствует множитель Лагранжа, в очень малой окрестности оптимума Если ограничение можно рассматривать в качестве баланса ресурса и максимизируется прибыль, то множитель Лагранжа в точке оптимума равен оптимальной цене Если ограничение можно рассматривать в качестве баланса ресурса и максимизируется прибыль, то множитель Лагранжа в точке оптимума равен оптимальной цене Если найдётся рынок, где ресурс дешевле, то его покупка увеличит прибыльЕсли найдётся рынок, где ресурс дешевле, то его покупка увеличит прибыль Если найдётся рынок, где ресурс дороже, то для увеличения прибыли его следует продатьЕсли найдётся рынок, где ресурс дороже, то для увеличения прибыли его следует продать В отличие от случая ЗЛП, множители Лагранжа (кроме частных случаев) не обладают свойством устойчивости В отличие от случая ЗЛП, множители Лагранжа (кроме частных случаев) не обладают свойством устойчивости Они меняют свои значения даже при сколь угодно малом изменении свободных членов ограничений Они меняют свои значения даже при сколь угодно малом изменении свободных членов ограничений 9/11

Теорема Куна-Таккера используется для аналитического отыскания оптимума задачи нелинейного программирования Впрочем, этот приём приводит к успешным результатам отнюдь не для любой задачи Главное, чем полезна теорема Куна- Таккера: выяснение роли множителей Лагранжа в формулировании условий оптимальности выяснение роли множителей Лагранжа в формулировании условий оптимальности экономическая интерпретация множителей Лагранжа экономическая интерпретация множителей Лагранжа Постановка задачи нелинейного программирования. Теорема Куна-Таккера 10/11