1

А ВС Д А1 В1С1 Д1 АВ С Д 2

Секущей плоскостью, называют любую плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного многогранника. Секущая плоскость пересекает грани многогранника по отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением многогранника. В Сечением параллелепипеда может быть: В В1 А А1 С С1 D D1D1 В В1 А А1 С С1 D D1D1 В1 А А1 С С1 D D1D1 В В1 А А1 С С1 D D1D1 треугольник четырехугольник шестиугольник пятиугольник 3

Сечением тетраэдра может быть: СА В D А В С D треугольник М N четырехугольник MN K P 4

Теория, необходимая при построении сечений Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости α 5 AB Є α В Є α B Є A α А

Теория, необходимая при построении сечений Через любую точку пространства, не лежащей на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна b β а М 6

Теория, необходимая при построении сечений Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны b a 7 α β γ α β b γ β b = = a γ α a α β

АВ С D M N Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М, N, К. α 1)M, N Є (ABD) Є M, Nα = (ABD) αMN M,KM,K Є α 2)M,KM,K Є (АСD) K α=MK 3) Є (BCD) K,NK,N K,NK,N Є α = α (BCD) KN 4)4)(MNK) – плоскость сечения α 8

При построении сечений часто используется метод следа, необходимость в котором возникает в том случае, если в плоскости грани многогранника лежит всего одна точка плоскости сечения В В1 А А1 С С1 D D1D1 Є K, F ( DCC1 ) ( А1В1С1 )( DCC1 ) = D1C1 N М М, N Є ( А1В1С1 ) Є К ( DCC1 ) К P KF CC1 = P F МNМN D1C1 = F Используя метод следа найдите вторую точку плоскости сечения и грани АDD1 9

В В1 А А1 С С1 D D1D1 N К М P F E L ( A1B1C1 ) Є M, N ( ADD1 ) Є K ( A1B1C1 ) ( ADD1 ) = A1D1 = A1D1 MNE Є ( ADD1 ) K,EK,E = KE AA1L

М В В1 А А1 С С1 D D1D1 N К F P L (α-плоскость сечения) ( CDD1 ) (ABB1) α (ABB1) = ML α ( CDD1 )= KP KPML

(ВСС1) α = МNМN α Є М, N 1) (ВСС1) Є М, N 2) (ВСС1)(ADD1) (ВСС1) α = MN E (ADD) α = KE KE MN Є (ADD1 ) 3)КЕM Є (ABC ) F P L Используя метод следа найдите вторую точку сечения, принадлежащую плоскости АВС Достройте сечение 12 Построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки М, N, К. N М К В В1 А А1 С С1 D D1D1

Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М, N, К. α А В С D 13 N N Є (ABD) M МЄ 1)1) ( АСD) 2)2)М Є K KЄ MK Є( АСD) (ABD) 3) М, N Є (ABC) K Є (ABD) (ABC) = AB L МNМN AB = L MNЄ(ABD) K, L Є (ABC) R KL BC = R (BCD) Є 4)4) R NЄ RN Є(BCD) α5)5) (MNRK) – искомая плоскость