Задача С3 вариант 241 B D1D1 C A1A1 DA B1B1 C1C1 О В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 с ребром, равным 20 3, расположен конус. Вершина конуса находится в точке D 1, а центр его основания, точка О, лежит на диагонали BD 1 и ВО:ОD=3:7. Окружность основания конуса имеет с каждой гранью, содержащей точку В, ровно по одной общей точке. Найдите объем конуса.

Проблема: как вписать конус в куб? B D1D1 C A1A1 DA B1B1 C1C1 О Как найти точки касания его основания граней куба, прилегающих к вершине В? Предложите вспомогательную фигуру, которой принадлежат точки касания окружности!

O A2A2 C2C2 E2E2 B2B2 B D1D1 C A1A1 DA B1B1 C1C1 F В каких точках конус касается граней куба? Найдите треугольник, в который вписана окружность основания конуса, и стороны которого лежат на гранях куба Как расположена плоскость треугольника A 2 B 2 С 2 относительно диагонали BD 1 куба? Гипотеза: треугольник– A 2 B 2 С 2 равносторонний, как проверить её? Это треугольник A 2 B 2 С 2, вершины которого лежат на ребрах куба, выходящих из В! Повернём куб вокруг диагонали BD 1 на угол 120°!

O A2A2 C2C2 E2E2 B2B2 E B D1D1 C A1A1 DA B1B1 C1C1 Как расположен треугольник с вписанным основанием конуса в кубе? Какой ещё треугольник имеет стороны в гранях, прилегающих к вершине В? Как определить коэффициент подобия треугольников AB 1 С и A 2 B 2 С 2 ? Как соотносятся треугольники AB 1 С и A 2 B 2 С 2 между собой и почему? Как расположены плоскости треугольников AB 1 С и A 2 B 2 С 2 относительно друг друга? O1O1 Они параллельны, так как перпендикулярны диагонали BD 1 Они подобны, так как их стороны, лежащие на линиях пересечения с каждой гранью куба, параллельны. Это треугольник AB 1 С с вершинами в углах куба

O O1O1 A2A2 C2C2 E2E2 B2B2 E B D1D1 C A1A1 DA B1B1 C1C1 F Как найти параметры треугольника с вписанной окружностью основания конуса? Как треугольник АВ 1 С расположен относительно диагонали BD 1 ? В какой пропорции плоскость АВ 1 С делит диагональ BD 1 ? Какая пара подобных треугольников позволяет ответить на этот вопрос? Он перпендикулярен BD 1 Это ВEВ 1 D 1 B 1 F, а их отношение подобия 1:2, так как D 1 F=2·ВВ 1

O O1O1 A2A2 C2C2 E2E2 B2B2 E B D1D1 C A1A1 DA B1B1 C1C1 F Как найти параметры треугольника с вписанной окружностью основания конуса? Как найти коэффициент подобия треугольников AB 1 С и A 2 B 2 С 2, какую пару вспомогательных подобных треугольников можно предложить? Чему равен коэффициент подобия треугольников A 2 B 2 С 2 и AB 1 С? Это треугольники ВОВ 2 и ВО 1 В 1. По условию задачи ВО=3/10 BD 1, а ВО 1 =1/3 BD 1, следовательно, ВО:ВО 1 = 9:10 Он равен 9:10

O A2A2 C2C2 E2E2 B2B2 E B D1D1 C A1A1 DA B1B1 C1C1 Как найти радиус окружности основания конуса? Как найти высоту B 2 Е 2 треугольника A 2 B 2 С 2 ? Вычисляем радиус окружности ОЕ 2 = 3/10· B 1 Е =9 2 ! Какую часть высоты B 2 Е 2 треугольника A 2 B 2 С 2 составляет радиус вписанной окружности? Чему равна высота B 1 Е треугольника AB 1 С? ОЕ 2 = B 2 Е 2 /3 B 2 Е 2 =9/10· B 1 Е B 1 Е = 3/2 АС= 3/2·20 3· 2=30 2

O A2A2 C2C2 E2E2 B2B2 E B D1D1 C A1A1 DA B1B1 C1C1 F Вычисляем объём конуса Вычисляем объем конуса! Чему равна высота конуса? ОD 1 =7/10 ВD 1 =7/10 3·АА 1 =42 V=1/3 (9 2) 2 42=2268