Решение нелинейных уравнений и систем уравнений в целых числах Дистанционный урок

Цели 1.Формирование представлений о математике как универсальном языке науки. 2. Развитие логического мышления, критичности мышления на уровне, для получения образования в областях, требующих углубленной математической подготовки. 3. Воспитание средствами математики культуры личности: отношения к математике как части общечеловеческой культуры: понимания значимости математики в раскрытии содержания нелинейных уравнений. 4. Развивать речь учащихся, в частности, умение интерпретировать учебный материал.

Три пути ведут к знаниям: путь размышления самый благородный; путь подражания самый легкий; путь опыта самый горький!

Решение нелинейных уравнений с одним неизвестным является одной из важных математических задач, возникающих в различных разделах физики, химии, биологии и других областях науки и техники. В общем случае нелинейное уравнение с одним неизвестным можно записать в виде: F(х)=0, где F(x) – некоторая непрерывная функция аргумента x.

Алгебраическое уравнение Уравнение называется алгебраическим, если функция F(x) является алгебраической функцией. Алгебраическое уравнение всегда может быть представлено в канонической форме: F(x) = а 0 + а 1 х +а 2 х 2 + … +а n x n = 0 где –а 0, а 1, а 2,…, а n коэффициенты уравнения. Показатель n называют степенью алгебраического уравнения.

Решить уравнение. ху +х – 3у = 4 Ограничение перебора

Решение. Уравнение приведем к виду: (х - 3)(у + 1) = -7. Разложим -7 на множители: -7 = -1·7 = 7·(-1). Ответ. (-4;0), (2;6), (4;-8), (10;-2) 1. Разложение на множители.

2. Выразим х через у. 7 / (у+1) – целое число, то (у + 1) = -1, 1, -7, 7 Ответ. (-4;0), (2;6), (4;-8), (10;-2)

Решить: 3. Преобразование левой части уравнения к сумме неотрицательных функций.

Уравнение приведем к виду: - целое число, то Ответ: х=0, у=1 Решение

Решить: 10х + у = х 2 + у Неотрицательность дискриминанта.

Относительно х это уравнение- квадратное: х х + (у 2 – у + 13) = 0. Условием существования решения является D/4 = 25 - у 2 + у – 13 0, т.е. -3 у 4. Таким образом достаточно перебрать случаи у = 4; 3; 2; 1; 0; -1; -2; -3. Ответ (-5;-3), (5;4). Решение

5.Сравнение левой и правой частей уравнения по какому-то модулю (сравнение остатков) Решить: х 2 + у 2 = 4z - 1

Так как х 2 = 0;1 (mod 4), то х 2 + у 2 =0;1;2(mod 4), 4z – 1 = -1(mod 4). Ответ. Решений нет. Решение.

3 m + 7 = 2 n Решить в целых числах:

х 2 + у 2 = 4z – 1 Решить.

Если m > 0, то левая часть 3 m + 7 = (mod 3), значит, если решение есть, то n чётно, т.е. n=2k. Тогда 3m = 2 2k – 7 = 4 k – 7. Но 4k – 7 = 1( mod 4), значит, если решение есть, то и m должно быть четным, Т.е. m = 2p. Итак, в результате имеем 3 2p = 2 2k – 7, или 7 = 2 2k - 3 2p = (2 k - 3 p )( 2 k + 3 p ). Отсюда 2 k - 3 p = 1, 2 k + 3 p = 7, т.е. m = 2, n = 4. При m=0 получаем второй ответ: n=3.

Решить самостоятельно: Летит над лесом стая сороконожек и трёхголовых драконов. У них 26 голов и 289 ног. У каждой сороконожки ровно одна голова. Сколько ног у трехголового дракона?

Пусть х и у – число сороконожек и драконов, n- число ног у дракона. Тогда х + 3у = 26, 40х + nу = 289.Из второго уравнения х 7, а из первого – х сравнимо с 2 по модулю 7. Подставляя такие х в уравнения, находим только одно целое n =14 (при х = 5) Решение

Тройка чисел 1, 2, 3 обладает тем свойством, что произведение любых двух из этих чисел, увеличенное на 1 делится на третье число. Найдите все тройки натуральных чисел, обладающих этим свойством. Решить в натуральных числах.

(1,1,1), (2,1,1), (3,2,1), (7,3,2) Пусть а b c. При с =1, получим три первых решения. Пусть с 2. заметим, что а, b, c попарно взаимно просты. Если, например, p-делитель числа а и b, то p делитель ас и b и ас + 1 не делится на p, а тем более на b, значит а >b >с. Число s = ab +ac+cb +1 делится на каждое из чисел a, b и с, а в силу их взаимной простоты и на их произведение, поэтому s abc. Если b 4, то а 5, abc 40 и s=ab+ac+cb+1 abc/2 +abc/4 + abc /5 +1 = abc - abc/20 +1 abc -40/20 +1 < abc. Значит, b < 4, откуда с=2 и а=7 Решение.

Правила составления синквейна: В первой строке одним словом обозначается тема (именем существительным). Вторая строка – описание темы двумя словами (прилагательные) Третья строка – описание действия в рамках этой темы тремя словами (глаголы, причастия) Четвертая строка – фраза из четырех слов, выражающая отношение к теме (разные части речи) Пятая строка – одно слово, синоним темы. Синквейн (от фр. cinquains, англ. cinquain) – это творческая работа, которая имеет короткую форму стихотворения, состоящего из пяти нерифмованных строк

Любовь. Сказочная, фантастическая. Приходит, окрыляет, убегает. Удержать ее умеют единицы. Мечта. Пример синквейна на тему любви:

Составьте синквейн на тему нелинейных уравнений Одно существительное. Два прилагательных. Три глагола или причастия. Четыре слова (разные части речи). Одно слово, синоним темы.

Спасибо за внимание!!!