Понятие цилиндра. Площадь поверхности цилиндра. Понятие ц илиндра. Площадь п оверхности цилиндра.

Понятие цилиндра Рассмотрим произвольную плоскость α и окружность L с центром О радиуса r, лежащую этой плоскости. Через каждую точку окружности L проведем прямую, перпендикулярную к плоскости α. Поверхность, образованная этими прямыми, называется цилиндрической поверхностью, а сами прямые – образующими цилиндрической поверхности. Прямая, проходящая через точку О перпендикулярно к плоскости α, называется осью цилиндрической поверхности. Поскольку все образующие и ось перпендикулярны к плоскости α, то они параллельны друг другу. Такие цилиндры иногда называют прямыми круговыми цилиндрами. О М М1 А Основание Ось r Основание Боковая поверхность β α L Образующие L1

Рассмотрим теперь плоскость β, параллельную плоскости α. Отрезки образующих, заключенные между плоскостями α и β, параллельны и равны друг другу. По построению концы этих отрезков, расположенные в плоскости α, заполняют окружность L. Концы же, расположенные в плоскости β, заполняют окружность L 1 с центром О 1 радиуса r, где О 1 – точка пересечения плоскости β с осью цилиндрической поверхности. Это следует из того, что множество концов образующих, лежащих в плоскости β, получается из окружности L параллельным переносом на вектор ОО 1. Параллельный перенос является движением и, значит, наложением, а при наложении любая фигура переходит в равную ей фигуру. Следовательно, при параллельном переносе на вектор ОО 1 окружность L перейдет в равную ей окружность L 1 радиуса r с центром в точке О 1. О М М1 А Основание Ось r Основание Боковая поверхность β α L Образующие L1

Круговой прямой цилиндр Цилиндр может быть получен вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. На рисунке изображен цилиндр, полученный вращением прямоугольника ABCD вокруг стороны АВ. При этом боковая поверхность цилиндра образуется вращением стороны CD, а основания – вращением сторон BC и AD. D C А В

Если секущая плоскость проходит через ось цилиндра, то сечение представляет собой прямоугольник, две стороны которого – образующие, а две другие – диаметры оснований цилиндра. Такое сечение называется осевым.

Если секущая плоскость перпендикулярна к оси цилиндра, то сечение является кругом. В самом деле, такая секущая плоскость (плоскость γ на рисунке) отсекает от цилиндра тело, также является цилиндром. Его основаниями служат два круга, один из которых и есть рассматриваемое сечение. С О γ α

На рисунке изображен цилиндр, каждое основание которого представляет собой фигуру, ограниченную частью параболы и отрезком. Парабола

На рисунке изображен цилиндр, основаниями которого являются круги, но образующие цилиндра не перпендикулярны к плоскостям оснований (наклонный цилиндр). Окружность

На рисунке изображен цилиндр. Представим себе, что его боковую поверхность разрезали по образующей АВ и развернули таким образом, что все образующие оказались расположенными в некоторой плоскости α. В А r h

В результате в плоскости α получится прямоугольник АВВ I А I. Стороны АВ и А I В I прямоугольника представляют собой два края разреза боковой поверхности цилиндра по образующей АВ. Этот прямоугольник называется разверткой боковой поверхности цилиндра. Основание АА I прямоугольника является разверткой окружности основания цилиндра, а высота АВ – образующей цилиндра, поэтому АА I = 2πr, АВ = h, где r – радиус цилиндра, h – его высота. α 2π r A B ВIВI АIАI