Логарифмические задания на едином государственном экзамене

Определение логарифма Определение. Логарифмом положительного числа b по основанию а (а > 0, а 1) называется показатель степени, в который нужно возвести основание а, чтобы получить b. Обозначение: log a b. Десятичный логарифм - логарифм, основание которого равно 10. Обозначение: log 10 x = lgx. Натуральный логарифм - логарифм, основание которого равно е 2,7. Обозначение: log е x = lnx.

Свойства логарифмов 1) log a 1 = 0, a > 0, a 1 2) log a a = 1, a > 0, a 1 3) a log a b = b – основное логарифмическое тождество 4) log a (b·c) = log a |b| + log a |c| 5) log a (b/c) = log a |b| - log a |c| 6) log a b p = p log a |b|, если p нечетно, то log a b p = p log a b 7) log а р b = 1/р log a b 8) log a b = log а р b р (р 0) 9) log а р b m = m/p log a b 10) log a b = log c b /log c a – формула перехода к новому основанию 11) log aс b = log |a| b/(1+ log |a| |с|), (aс >0) 12) log a p*log b p+log b p*log c p+log a p*log c p=(log a p*log b p*log c p)/log abc p 13) a log c b = b log c a (a>0, b>0, с>0, c1) 14) a log a b = b log b a. 15) log a b = 1/ log b а.

Выражения и их преобразования. Значения выражений Пример 1(А). Упростите выражение Ig25 + 0,5 lgl6. l)lg 29; 2) 2; 3) lg 33; 4)10. Решение. Применив свойство логарифма степени ко второму слагаемому, а затем свойство суммы логарифмов, получим: lg lg16 = Ig25 + Ig4 = lg(25 4) = lg 100 = 2. Ответ: 2.

Выражения и их преобразования. Значения выражений Пример 2(А). Найдите значение выражения 1og ) -16; 2) -11; 3) -5; 4) 19. Решение. В соответствии с основным логарифмическим тождеством первое слагаемое равно 12. Поэтому 1оg б = = -5. Ответ:3.

Выражения и их преобразования. Значения выражений Пример 3(В). Найдите значение выражения log 2 7 log Решение. Данное выражение представляет собой степень с основанием 3. Поэтому целесообразно привести к этому основанию и логарифмы, стоящие в числителе и знаменателе показателя степени: 2 log 2 7 = log 3 7 : log 3 3 = log 3 7 × log 3 2 = log 3 7 · 2 log 3 2 = log 4 3 log 3 2 log 3 4 log 3 2 log 3 2 = 2 log 3 7 = log Применив основное логарифмическое тождество, получим: log 2 7 log 4 3 log = 3 = 49. Ответ: 49.

Выражения и их преобразования. Значения выражений Пример 4(В). Найдите значение выражения log ,5 + log 7 0,5 - log 1/7 4. Решение. Значение первого слагаемого можно найти с помощью основного логарифмического тождества: log 2 0,04 log 2 0,2 2 log ,5 = (2- 1 ) = (2 -1 ) = 5 2 = 25. Применяя ко второму и третьему слагаемому формулы n log а b = n log a b и log a m b = (1/m) log a b, получаем: log 7 0,5 = log 7 1/ = 2*(-1)*log 7 2 = -2 log 7 2, и log 1/7 4 = log = -2 log 7 2. Окончательно получаем: 25 - (-2 log 7 2) + (-2 log 7 2) = 25. О т в е т: 25.

Логарифмические уравнения Определение. Логарифмическим уравнением называется уравнение, в котором неизвестная находится только под знаком логарифма или в основании логарифма (или то и другое одновременно). log 2 x(x +2) = 3, log х (x 2 + 1) = 2 – логарифмическое, но хlgx = 10 – уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифмической функции.

Логарифмические уравнения. Методы их решения: решение уравнений, основанное на определении логарифма; решение с помощью операции потенцирования; применение основного логарифмического тождества; использование операции логарифмирования; переход к логарифму по новому основанию; введение нового неизвестного.

Полезные советы 1) При решении логарифмических уравнений обратите внимание на основание логарифма. Разные основания следует попытаться привести к одному основанию. 2) Если в логарифмическом уравнении логарифмы приведены к одному и тому же основанию, то надо попробовать выделить какое-то выражение, входящее в уравнение, для того, чтобы, обозначив это выражение через другую переменную, можно было бы получить уравнение относительно этой переменной не содержащее логарифмической функции. 3) Решение логарифмических уравнений сопровождается рядом ограничений на входящую в них переменную и основание, поэтому невозможно соблюсти равносильность при выполнении преобразований. В результате возможно расширение области определения исходного уравнения или снятие каких-то ограничений, а это может привести к появлению посторонних корней. Необходимо выполнять проверку. 4) Если же исходное уравнение удалось представить в виде log а (f)x = g(x), то его корни можно искать из соотношения f(x) = а g(x).

Логарифмические уравнения При решении логарифмических уравнений следует обратить внимание на то, что применение следующих формул: log a mn = log a m + log a n, log a m/n = log a m – log a n, k log a m = k log a m, может привести как к приобретению, так и к потере корней уравнения.

Пример 5(А). Укажите промежуток, которому принадлежит меньший корень уравнения log 2 x(x +2) = 3 1) (-;-2]; 2) (-2; 2); 3) [2; 4]; 4) (4; +). Решение. По определению логарифма получаем: х(х+2) = 2 3 или х 2 + 2х - 8 = 0. Корнями этого уравнения являются числа х = -4 или х = 2. Ответ: 1

Замечание При решении этого примера мы пользовались только определением логарифма. Никаких преобразований, сулящих потерю равносильности, не было. Поэтому вовсе необязательно в решении приводить, например, такое обоснование: «В соответствии с определением произведение х(х + 2), стоящее в исходном уравнении под знаком логарифма, может принимать только положительные значения. В уравнении х·(х+2)=23 это выражение положительно, так как 23 > 0. Следовательно, эти уравнения равносильны, т.е. либо имеют одни и те же корни, либо оба не имеют корней».

Способы выявления посторонних корней 1)выполняя преобразования уравнения, сохранять область определения исходного уравнения, т.е. записывать систему, состоящую из полученного уравнения и неравенств, задающих область определения исходного уравнения; 2)проверить полученные корни подстановкой в исходное (и только в исходное!) уравнение.

Пример 6(А). Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения log 2 x + log 2 (x + 2) =3. 1) (-; -2]; 2) (-2; 2); 3) [2; 4]; 4) (4; +). Решение.1 способ. Данное уравнение равносильно системе log 2 x(x + 2) = 3, x>0, x+2>0, которая равносильна системе log 2 x(x + 2) = 3, х >0. Решая уравнение log 2 x(x + 2) = 3, получаем: x = - 4 или х = 2. Число - 4 не удовлетворяет условию х > 0, т.е. является посторонним корнем. Число 2 удовлетворяет условию х > 0, значит, является корнем исходного уравнения. Этот корень принадлежит промежутку, указанному в третьем варианте ответа. Ответ: 3.

Пример 6(А). Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения log 2 x +log 2 (x +2) =3. 1) (-; -2]; 2) (-2; 2); 3) [2; 4]; 4) (4; +). 2 способ. Используя формулу: log а mn = log a m + log a n, данное уравнение можно представить в виде log 2 x(x + 2) = 3. 2 Далее получаем: х + 2х - 8 = 0. Следовательно, х = - 4 или х = 2. Проверка. Iog Iog 2 (2 + 2) = = 3, значит, число 2 - корень исходного уравнения. Выражения log 2 (-4) и log 2 ( ) не определены, следовательно, число посторонний корень. О т в е т: 3

Пример 7(А). Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения Iog 4 (2x - 3) - Iog 4 (3x - 2) = 1. 1) [-4; -1,5); 2) [-1,5; 0); 3) [0; 2); 4) корней нет. Решение. Воспользуемся свойством разности логарифмов и, учитывая область определения логарифмической функции, получим равносильную данному уравнению систему log 4 (2x - 3)/(3x - 2) = 1, 3x – 2 > 0. Из определения логарифма следует, что уравнение системы равносильно уравнению 2x - 3 = 4. 3x - 2 Число 0,5 его корень. Он не удовлетворяет неравенству системы. Таким образом, уравнение Iog 4 (2x - 3) - Iog 4 (3x - 2) = 1 не имеет корней. О т в е т: 4.

Замечание k Замена выражения log a m выражением к log a m, наоборот, при четных к может привести к потере корней. Избежать в этом случае потери корня можно двумя способами: 1) использовать определение логарифма, а не формулу степени логарифма; 2) использовать понятие модуля числа.

Пример 8(А). Укажите промежуток, которому принадлежит меньший корень уравнения 2 log 2 x = 4. 1) (- ; -2]; 2) (-2; 2); 3) [2; 4]; 4) (4; + ). Решение. Iспособ. По определению логарифма получаем 2 4 уравнение х = 2 равносильное данному. Полученное уравнение равносильно уравнению 2 х = 16, корнями которого являются числа 4 и - 4. Ответ: 1. II способ. Данное уравнение равносильно уравнению 2·1og 2 |x| = 4, а значит, и уравнению log 2 |x| = 2. По определению логарифма получаем равносильное последнему 2 уравнение |х| = 2, корнями которого являются числа 4 и - 4. Ответ: 1.

Пример 9(В). Найдите меньший корень уравнения lg(-x) = lg x 2 Решение. Так как логарифмическая функция определена на множестве положительных чисел, то -х > 0, или х < 0. Поэтому решения надо искать на множестве отрицательных чисел. Но тогда x 2 = - х и уравнение принимает вид lg(-x) = lg(-x). Сделав замену lg(-x) = t, приходим к уравнению t = t 2, корнями которого являются числа t = 0 и t = 1, откуда х = -1 или х = -10. В ответ запишем, как требуется в условии, меньший корень. Ответ: -10.

Пример 10(В). Решите уравнение Iog 3 (x + 2x)/log 3 (x - 4x - 4) = Iog 5 8/log 5 (x - 4x -4). Решение. В уравнении есть логарифмы с разными основаниями. Поэтому приведем все логарифмы к одному основанию, например, к основанию 3. Тогда log 5 8 = log 3 8/ log 3 5 и 2 2 log 5 (x - 4x -4) = log 3 (x - 4x - 4)/ log 3 5, а уравнение принимает вид Iog 3 (x + 2x)/ Iog 3 (x - 4x- 4) = log 3 8/ log 3 (x- 4x - 4). Далее получаем: 2 2 Iog 3 (x + 2x) = log 3 8, x + 2x = 8, откуда x = 2 или х = - 4. Однако при х = 2 значение выражения 2 х - 4х – 4 равно -8, поэтому число 2 не является корнем исходного уравнения. Ответ: - 4.

Пример 11(С). Решите уравнение 3 (105 – 8/log x 2) = 3 log 2 0,5x x. Решение. 1) Так как х основание логарифма, то х > 0, х 1. При таких значениях х определена правая часть уравнения и равносильны следующие преобразования частей уравнения: 3 4/3 8/log x 2 = 8log 2 x и 3log 2 0,5xx = 3 log 2 0,5x = -1 = 3 (Iog /3 log 2 x) = 4log 2 x - 3. Получаем уравнение (105 – 8/logx 2) = 4log 2 x -3.

2 2) Пусть t = log 2 x. Тогда 105 – 8t = (4t - 3), – 8t = 16t – 24t + 9, 2 16t – 16t - 96 = 0, 2 t – t – 6 = 0, t =3, t =-2. 3)Подставляем число - 2 вместо log 2 x в уравнение l05- 8 log 2 x = 4 log 2 x -3, получаем неверное равенство = -8 – 3. При t = 3 получаем = , 81 = 9, что верно. 3 4) Значит, log 2 x = 3, х = 2 = 8. Ответ: 8. Замечание. Можно было обозначить буквой t выражение 4log 2 x.

Пример 12(С). Решите уравнение 3 log 6 (3 – (3/(2x + 3))) = 4 log 6 (2 + 1/(x + 1)). Решение. Выполняя тождественные преобразования, получаем: 3(log log 6 ((x + 1)/(2x + 3))) = 4 log 6 ((x + 1)/(2x + 3)) -1 +3; log 6 ((x + 1)/(2x + 3)) = -4 log 6 ((x + 1)/(2x + 3)) +3; 7 1og 6 ((x + 1)/(2x + 3)) = 0. По определению логарифма: x + 1 = 1. 2x + 3 Решим полученное уравнение: x +1 = 2x +3 x = -2 2x +3 0; x 1,5. Итак, х = -2. Проверим найденный корень подстановкой в исходное уравнение: 3log 6 (3–3/(2(-2) + 3)) = 4 log 6 (2 + 1/((-2) + 1)). 3 log 6 6 = 4 log 6 l + 3; 3 = 3 верно, т.е. х = -2 корень исходного уравнения. О т в е т: -2.

Пример 13(С). Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение log 2 3 x – (2a + 3) log 3 x + a 2 + 3a = 0 имеет два различных корня, равноудаленных от точки х = 42. Решение. Введем обозначение t = log 3 x. Уравнение примет вид: t 2 - (2а + 3)t + а 2 + За = 0. Его корни числа t = а + 3 и t = а. Следовательно, log 3 x = а+3 или log 3 x = a. Отсюда получаем: x 1 = 3 a+3, x 2 = 3 a. Точка х = 42 равноудалена от точек х, и х 2, т.е. она является серединой отрезка с концами в этих точках. Воспользуемся формулой координаты середины отрезка (3 a a ) /2 = 42. Далее получаем: (( )* 3 a ) = 42, 3 a = 3, а = 1. Ответ: а = 3.

Логарифмические неравенства Между методами решений логарифмических уравнений и логарифмических неравенств есть существенные отличия: 1)для решения логарифмических неравенств необходимо установить характер монотонности соответствующей логарифмической функции в зависимости от величины её основания. 2)решением неравенства, как правило, является бесконечное множество чисел, и значит, о выполнении проверки найденных решений не может быть и речи, поскольку в отличие от уравнений это просто невозможно. Поэтому при решении логарифмических неравенств особое значение приобретает умение проводить равносильные преобразования неравенств.

Логарифмические неравенства При решении логарифмических неравенств необходимо учитывать, что 1. если а > 0, а 1, то log a f(x) b f(x) а b, если а > 1, 0< f(x) а b, если 0

Логарифмические неравенства g(x) h(x), h(x) > 0, f(x) > 1, 3. log f(x) g(x) log f(x) h(x) h(x) g(x), g(x) > 0, 0 < f(x) < 1, g(x) h(x), g(x) > 0, 4. log f(x) g(x) log f(x) h(x) f(x) > 1, h(x) g(x), h(x) > 0, 0 < f(x) < 1.

Неравенства. Методы решения логарифмических неравенств Имеется не менее 4 принципиально различных типов подхода к решению логарифмических неравенств: А)перебор случаев «основание больше единицы», «основание меньше единицы»; Б)переход к равносильным совокупностям систем неравенств, не содержащих логарифмов; В)обобщенный метод интервалов; Г)графический метод.

Логарифмические неравенства Решая логарифмические неравенства, нужно так же крайне аккуратно пользоваться свойствами логарифмов, т.е. формулами log a m*n = lоg a m + log a m, log a m/n = log o m - log a n, log a m k = k*log a m. Решениями могут быть лишь те значения переменных, при которых выражения, стоящие под знаком логарифма, принимают только положительные значения.

Пример 14(А). Решите неравенство log 5 (2x+3)>log 5 (x- 1). 1) (1; +); 2) (0; +); 3) (- ; -4); 4) (-4; +). Решение. Так как функция f(t) = log 5 t определена и возрастает на промежутке (0; +), то данное неравенство равносильно следующей системе 2x +3 > x – 1, x –1 > 0. Решая неравенства системы, получаем x > -4, x > 1. Таким образом, решением данного неравенства является промежуток (1; + ). Ответ. 1.

Пример 15(А). Решите неравенство log 1/2 (2x - 5) < -2. 1) (-;4,5); 2) (0;+); 3) (2,5; 4,5); 4) (4,5; +). Решение. Представим правую часть неравенства в виде логарифма с основанием 1/2. Получим неравенство log 1/2 (2x - 5) < log 1/2 4. Так как функция f(t ) = log 1/2 t определена и убывает на промежутке (0; + ), то данное неравенство равносильно следующей системе 2х-5>4, 2х-5>0. Данная система равносильна неравенству 2х - 5 > 4, или х > 4,5. Таким образом, решением данного неравенства является промежуток (4,5; +). О т в е т: 4.

Решить неравенство: log 0,5х (0,25х 2 - 1,25х +1,5) 1. Решение: (подход Б). Данное неравенство равносильно совокупности следующих систем неравенств 0

Решить неравенство: log 0,5х (0,25х 2 - 1,25х +1,5) 1. Решение: (подход В). Функция f(х)=log 0,5х (0,25х 2 -1,25х+1,5) -1 определена и непрерывна х е (0; 2) и (3; +). Найдем ее нули: Iog 0,5х (0,25x 2 - 1,25х + 1,5) = 1, 0,25(х 2 - 7х + 6) = 0, х 1 = 1, х 2 = 6. Определяем знаки функции (рис.1). f(8) = Iog 4 7,5 - 1 > 0, f(4) 0, f(1,5) > 0, f(0,5) < 0. Значит, f(х) 1 х Є (0; 1] U (3; 6].

Решить неравенство: log 0,5х (0,25х 2 - 1,25х +1,5) 1 Решение: Найдем точки пересечения графиков у 1 = 0,5х и у 2 = 0,25х 2 1,25х + 1,5. 0,25х 2 - 1,25х + 1,5 = 0,5х, 0,25(х 2 - 7х + 6) = 0, х 1 = 1, х 2 = 6. Первый график прямая, второй график парабола, ветви вверх. Если 0 < у 1 < 1, то log у1 у 2 1 y 2 y 1 0 х 1. Если у 1 > 1, то log у1 у < х 6. Значит, log y1 у 2 1 x e (0;l] U(3;6]. подход Г)(

Функции Пример 19(А). Найдите область определения функции 4 у = 2 - log 03 х. 1) (0; +); 2) (0; 0,09]; 3) [0,09;+); 4) [0;+). 4 Решение. Функция f(t) = t определена на промежутке [0;+), поэтому 2- log 0,3 x 0, т.е. log 0,3 х 2. Представим правую часть полученного неравенства в виде логарифма с основанием 0,3: log 0,3 х log 0,3 0,09. Поскольку функция f(t) = log 0,3 t определена и убывает на промежутке (0; +), то данное неравенство равносильно неравенству х 0,09. Таким образом, решением данного неравенства является промежуток [0,09; + ). Ответ. 3.

Функции Задание 42(А). Укажите область определения функции у = Iog 3 (x + 3), график которой изображен на рис. 1. 1)(-3;+); 2) (-2;+); 3) (1; +;); 4) (-; +). Ответ:1.

Пример 20(В). Найдите наименьшее значение функции у = Iog 0,5 (0,25 - х 2 ). Решение. Функция у = log 0,5 t монотонно убывает на всей области определения. Поскольку область определения логарифмической функции множество всех положительных чисел, то 0,25 - х 2 > 0. Отсюда следует, что (х - 0,5)(х + 0,5) < 0, -0,5 < х < 0,5. Итак, функция у= Iog 0,5 (0,25 - х 2 ) определена на множестве (-0,5; 0,5). График квадратичной функции t = 0,25 - х 2 парабола, вершина которой находится в точке (0; 0,25), а ветви направлены вниз. Поэтому свое наибольшее значение 0,25 функция достигает при х = 0. При х е [0; 0,5] значения функции t = 0,25 - х 2 непрерывно убывают от 0,25 до 0, а при х е [0,5; 0] непрерывно возрастают от 0 до 0,25. Следовательно, на промежутке (0,5; 0] функция у = Iog 0,5 (0,25 - х 2 ) непрерывно убывает, принимая наименьшее значение у(0) =2, а на промежутке [0; 0,5) непрерывно возрастает, принимая наименьшее значение у(0) = 2. Итак, наименьшее значение заданной функции равно 2. О т в е т 2.

Пример 21 (С). Найдите множество значений функции 7 = log 0,1 (300/(1 + lg(100 + x 2 ))). Решение. 1) Сначала найдем множество значений функции у = х 2 : E(x 2 ) = [0; +), следовательно, E(100+х 2 ) = [100;+ ). 2) Так как функция у = Igt непрерывна и при неограниченном увеличении аргумента неограниченно возрастает, то E(lg(100 +x 2 )) = [lg100; +) = [2; +). Значит, Е(1 + lg(100 + х 2 )) = [3; +). 3) Так как функция у = 1/ t непрерывна и убывает на промежутке [3; +), то E(1/(1 + lg(100 + x 2 ))) = (0; 1/3], E(300/(1 + lg(100 + x 2 ))) = (0; 100]. Поскольку функция у = log 0,1 t непрерывна, убывает на (0; +) и принимает все значения из интервала (- ; +), то на промежутке (0; 100] она имеет наименьшее значение, равное log 0,1 100 = -2. Следовательно, E(y) = [log 0,1 100; +) = [-2; +). Ответ: [-2; +).

ЕГЭ Демонстрационнный вариант А(4). Укажите функцию, график которой изображен на рисунке. 1) у = 2 х 2) у = Iog 2 x 3) у = 0,5 х 4) у = Iog 0,5 x. На рисунке изображен график возрастающей функции, принимающей как положительные так и отрицательные значения (часть графика расположена над осью абсцисс). Из предложенных четырех функций оба эти свойства имеет только у = Iog 2 x. Ответ: 2.

ЕГЭ Демонстрационнный вариант В(6). Вычислите значение выражения log log log 7 6 Решение. Используя формулу перехода к новому основанию логарифма, получаем: log log 49 7 = log 7 (6) 2 - log 7 7 0,5. log 7 6 log 7 6 log 7 (7) 2 По свойству логарифма степени получаем: 2 log ,5 log 7 7 = 2 - 0,25=1,75 log log 7 7 Ответ: 1,75.

ЕГЭ Демонстрационнный вариант СЗ. Найдите все значения х > 3, при каждом из которых наибольшее из двух чисел а = log 3 x + 5 log x и b = 23 – log 2 3 x не меньше 7. Решение. Так как х > 3, то log 3 x >1. Далее в решении учитывая это условие 1) а 7 log 3 x + 5 log x log 3 x + 5*(log 3 27/log 3 x)-8 0 (log 2 3 x - 8 log 3 x + 15) 0 log 3 x 5 log 3 x log 3 x 3. 2)b log 2 3 x log 2 3 x 0 (4 – log 3 x)(4 + log 3 x) 0 log 3 x 4. 3) наибольшее из чисел а и b не меньше 7 тогда и только тогда, когда хотя бы одно из них не меньше 7, т.е. когда а 7 log 3 x 5 log 3 x 5 х 243 b 7 log 3 x 3 log 3 x 4 x 81. log 3 x 4 Учитывая условие х 3, получаем 3 < x 81 или х 243. Ответ: 3 < x 81, х 243.