Логика – это наука о формах и законах человеческой мысли, о законах доказательных рассуждений, изучающая методы доказательств и опровержений, т. е. методы установления истинности или ложности одних высказываний ( утверждений ) на основе истинности или ложности других высказываний.

Алгебра логики это математический аппарат, с помощью которого записывают, вычисляют, упрощают и преобразовывают логические высказывания. Создателем алгебры логики является живший в ХIХ веке английский математик Джордж Буль, в честь которого эта алгебра названа булевой алгеброй высказываний.

Таблица истинности логической формулы выражает соответствие между всевозможными наборами значений переменных и значениями формулы.

Для формулы, которая содержит две переменные, таких наборов значений переменных всего четыре : (0,0), (0,1), (1,0), (1,1). Если формула содержит три переменные, то возможных наборов значений переменных восемь : (0,0,0), (0,0,1), (0,1,0), (0,1,1), (1,0,0), (1,0,1), (1,1,0), (1,1,1). Количество наборов для формулы с четырьмя переменными равно шестнадцати и т. д.

КОНЪЮНКЦИЯ Соответствует союзу И ; Обозначение &; В языках программирования and; Название : Логическое умножение.

Основные логические операции ДИЗЪЮНКЦИЯ Соответствует союзу ИЛИ; Обозначение V; В языках программирования or; Название: Логическое сложение.

Таблица истинности для ИЛИ

Основные логические операции ИНВЕРСИЯ Соответствует союзу НЕ; Обозначение А; В языках программирования not; Название: Отрицание.

Таблица истинности для НЕ

Порядок выполнения логических операций задается круглыми скобками. Но для уменьшения числа скобок договорились считать, что сначала выполняется операция отрицания ( не ), затем конъюнкция ( и ), после конъюнкции дизъюнкция ( или ) и в последнюю очередь импликация.

Определение логической формулы : Всякая логическая переменная и символы истина (1) и ложь (0) формулы. Если А и В формулы, то, ( А В ), ( А v В ), ( А B), ( А В ) формулы.

Некоторые формулы принимают значение истина при любых значениях истинности входящих в них переменных. Например, формула А v Такие формулы называются тождественно истинными формулами или тавтологиями. Высказывания, которые формализуются тавтологиями, называются логически истинными высказываниями.

При всех наборах значений переменных x и y формула принимает значение 1, то есть является тождественно истинной.

В качестве другого примера рассмотрим формулу А, которой соответствует, например, высказывание Катя самая высокая девочка в классе, и в классе есть девочки выше Кати. Очевидно, что эта формула ложна, так как либо А, либо обязательно ложно. Такие формулы называются тождественно ложными формулами или противоречиями. Высказывания, которые формализуются противоречиями, называются логически ложными высказываниями.

При всех наборах значений переменных x и y формула принимает значение 0, то есть является тождественно ложной.

Формула в некоторых случаях принимает значение 1, а в некоторых 0, то есть является выполнимой.

Позволяют производить тождественные преобразования логических выражений :