МОУ СОШ 111. Математическое эссе: «Задачи на построение одной линейкой». Работу выполнил: ученик 8 «Б» класса Кузьменко Алексей. Руководитель: Дурникина Н.И.

Пользуясь только линейкой, можно решить очень ограниченный круг геометрических задач на построение. Нельзя, например, пользуясь исключительно линейкой, разделить отрезок пополам или провести параллель к данной прямой. Однако, эти и многие другие задачи могут оказаться разрешимыми исключительно линейкой, если на плоскости дана некоторая вспомогательная фигура. Рассмотрим некоторые построения такого рода, при которых нам понадобится следующая теорема: Прямая, соединяющая точку пересечения диагоналей трапеции с точкой пересечения продолжения её боковых сторон, делит оба основания пополам. Это полезно знать!

Задача 1. Даны две параллельные прямые а и в и на одной из них, например на прямой а, отрезок АВ. Построить с помощью одной линейки середину этого отрезка.

Решение. Возьмем произвольную точку Р, лежащую вне полосы, ограниченной заданными прямыми. Проведём прямые РА и РВ и отметим точки Д и С их пересечения с прямой в. Пусть точка О – точка пересечения прямых АС и ВД. Тогда, согласно предыдущей теореме, прямая РО пересечёт отрезок АВ в его середине, точке М. Задача имеет единственное решение, которое не зависит от выбора точки Р.

Задача 2. Дана точка М, середина отрезка АВ, и точка С, не принадлежащая прямой АВ. Провести через данную точку С прямую, параллельную прямой АВ.

Решение. Изберём на прямой ВС вне отрезка ВС произвольную точку Р и соединим эту точку с точками А и М. Пусть точка О – точка пересечения прямых РМ и АС; Д – точка пересечения прямых АР и ОВ, тогда прямая СД искомая.

Доказательство. Предположим, что СД и АВ не параллельны. Пусть СД || АВ. Построим точку М – середину отрезка АВ (смотри задачу 1). Получили, что две различные прямые РО и РО пересекают отрезок в его середине : М и М. Но у отрезка одна середина – точка М, данная по условию. Получили противоречие. Значит СД || АВ.

Задача 3. Через центр данного параллелограмма провести прямую, параллельную его сторонам.

Решение. Пусть АВСД – данный параллелограмм, точка О – его середина. Учитывая, что АО = СО; ВО = ОД, можно воспользоваться предыдущей задачей и провести СЕ || ВД и ДF || АС. Если М = СЕ ДF, то ОМ || АД. Доказательство: По построению ДОСМ – параллелограмм. Значит ОС=ДМ, ОД=СМ. ΔАОД= ΔОСМ= ΔДМЕ по2 признаку, поэтому СМ=МЕ. Получаем, что ОМ – средняя линия ΔАСЕ, значит параллельна его основанию.

Задача 4. Дан параллелограмм АВСД. Через данную точку Р провести параллель данной прямой а.

Решение. Проведем прямую в||ВС и АД (см. задачу 3). Продолжения прямых АД; в; ВС – определяют на прямой а точки F, М и N так, что FM = МN. Имеем на прямой а отрезок NF и М – его середина, точка Р не принадлежит прямой а. Задача сведена к задаче 2. РQ – искомая прямая. а

Задача 5. На плоскости даны 2 параллельные прямые а и в, и не лежащая на них точка С. Пользуясь только линейкой провести через точку С прямую, параллельную прямым а и в.

Решение. Берем произвольные точки А и А на прямой а и точку В на прямой в. Строим Δ АВС. Проводим прямую s, пересекающую прямые АС, ВС и АВ в точках В 0, А 0 и С 0. Строим прямую АС 0. На прямой в получаем точку В. Строим прямые АВ 0 и ВА 0. Получаем точку их пересечения С. СС- искомая прямая. Доказательство выходит за рамки школьной программы.