Уравнения и неравенства с модулями Выполнила ученица И-9-2 класса Щукина Оксана

Цель работы Моя работа посвящена уравнениям и неравенствам с модулем. Эта тема, представляется мне очень интересной, и поэтому я постаралась изложить ее более подробно. Задача: научиться применять определения модуля при решении данных уравнений и неравенств Я выбрала именно эту тему, потому что хочу получить более широкие знания о модуле числа, различных способах решения уравнений, содержащих модули.

Графики простейших функций, содержащих знак абсолютной величины 1. f(x)=|x – 1|. Вычисляя значение функции 1, 0 и 2, получаем график, состоящий из двух отрезков прямых. 2. f(x)=|x – 1|+|x – 2|. Вычисляя значение функции в точках с абсциссами 1, 2, 0, 3, получаем график, состоящий из трех отрезков прямых.

Модули неотрицательного числа а) Решим уравнение: ||…||x| + 1| +…| +10|=55. Все выражения, стоящие под знаком второго, третьего и т.д. модулей положительны. И поскольку модуль положительного выражения равен самому этому выражению, получим ||…||x| + 1| +…| + 10| = 55|x| …+ 10 = 55 |x| = 0x = =0 б) Аналогично решается уравнение : поскольку левая часть уравнения неотрицательна при всех допустимых значениях переменной, на множестве корней уравнения правая его часть тоже должна быть неотрицательной, отсюда условие x > -1, на этом промежутке знаменатели обеих дробей равны, и остается решить уравнение | x³ + x| = 2. Решая его и учитывая ограничения x > -1, получаем ответ: x = 1.

Раскрытие модулей Решим уравнение: |1– х | – |х| = |х² – 1|

Тождество Решим уравнение Дважды используя тождество f² = |f|, получим уравнение |х –1| + |х –2| = 1. Ответ: [1; 2]. Теорема о знаках Воспользуемся теоремой:

Метод интервалов Решим неравенство: Пусть Областью определения введенной функции f является луч [0; +). Решая уравнение f(x) = 0, получаем, что функция не обращается в нуль ни при каком значении переменной. Это означает, что на всей области определения функция является знакопостоянной. Вычисляя, например, f(0) = 2, получаем, что функция принимает только положительные значения. Тогда исходное неравенство выполнено при любых х, принадлежащему лучу [0; +). Ответ: [0; +).

Выводы Я ознакомилась с основными способами решения уравнений и неравенств с модулями. Мне представилась возможность больше поработать с интересной, для меня, темой модуля и выйти за рамки того материала, который предоставляет нам учебник 9-го класса. Прочитав и изучив другую литературу, я узнала много нового и, как я считаю, важного для меня.