Последовательность. Арифметическая прогрессия.

Последовательностью называется функция заданная на множестве N натуральных чисел или на множестве n первых натуральных чисел. Наиболее часто встречаются числовые и функциональные последовательности (т. е. последовательности, членами которых являются числа или функции). Целью изучения всевозможных последовательностей является поиск закономерностей, прогноз будущих состояний и генерация последовательностей.

то есть Примеры последовательности :

Бесконечная последовательность представляет собой функцию, областью определения которой является множество натуральных чисел. -1, -2, -3, -4 … Конечная последовательность, состоящая из n членов, представляет собой функцию, областью определения которой является множество первых n натуральных чисел. 1/5, 2/5, 3/5, 4/5.

Числовая последовательность называется возрастающей, если в ней каждый следующий член больше предыдущего. 2, 4, 6, 8, 12 … Числовая последовательность называется убывающей, если в ней каждый следующий член меньше предыдущего. 13, 11, 9, 7, 5 … Возрастающие и убывающие последовательности называют монотонными последовательностями.

В математике пределом последовательности называют объект, к которому члены последовательности в некотором смысле стремятся или приближаются с ростом номера. Свойство последовательности, иметь или не иметь предел, называют сходимостью: если у последовательности есть предел, то говорят, что данная последовательность сходится, в противном случае (если у последовательности нет предела) говорят, что последовательность расходится. Примеры сходящейся последовательности: Примеры расходящейся последовательности: 1, 1, 1, 1, 1, 1,..., 1, 2, 3, 4,...

Бесконечно малая последовательность это последовательность, предел которой равен нулю. Бесконечно большая последовательность это последовательность, предел которой равен бесконечности.

Ограниченная сверху последовательность это последовательность элементов множества X, все члены которой не превышают некоторого элемента из этого множества. Этот элемент называется верхней гранью данной последовательности (ограниченная сверху числовая последовательность имеет бесконечно много верхних граней). Ограниченная снизу последовательность это последовательность элементов множества X, для которой в этом множестве найдётся элемент, не превышающий всех её членов. Этот элемент называется нижней гранью данной последовательности (ограниченная снизу числовая последовательность имеет бесконечно много нижних граней). Неограниченная последовательность это последовательность, которая не является ограниченной.

Ограниченная последовательность (ограниченная с обеих сторон последовательность) это последовательность, ограниченная и сверху, и снизу. (Ограниченная последовательность имеет по крайней мере одну предельную точку, у нее существуют верхний и нижний пределы). Числовая последовательность является ограниченной тогда и только тогда, когда существует такое число, что модули всех членов последовательности не превышают его.

Способы задания последовательности: Наиболее частый способ задания последовательности формулой общего члена, которая позволяет вычислить любой член последовательности по его номеру n. Пример. Возможно также рекуррентное задание последовательности, когда следующий член последовательности задается на основании предыдущего. x n = f(x n-1 ) Так, например, можно задать арифметическую и геометрическую прогрессию. Пример. Арифметическая прогрессия задается рекуррентным соотношением вида Пример. Геометрическая прогрессия задается рекуррентным соотношением вида

Арифметической прогрессией(А.П.) называется последовательность, в которой каждый следующий член отличается от предыдущего на одно и то же число. Где d- разность арифметической прогрессии.

Примеры А.П.: 3,6,9,12,15,18,21,24,27,30 арифметическая прогрессия из десяти членов с шагом 3 1, 1, 3, 5, 7 арифметическая прогрессия с шагом 2 π,π,π,π арифметическая прогрессия с шагом 0

Если разность арифметической прогрессии d > 0, то прогрессия называется возрастающей, если d < 0 - убывающей. d=a 2 -a 1 =a 3 -a 2 =… Формула n-го члена арифметической прогрессии:

Любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, является средним арифметическим предыдущего и следующего члена прогрессии : Обратное также верно, то есть это свойство является признаком арифметической прогрессии. Сумма первых членов арифметической прогрессии обычно обозначается и вычисляется по формуле :

При решении задач, связанных с арифметической прогрессией, могут оказаться полезными также следующие формулы:

Задача 1 Дана арифметическая прогрессия: 2, x, y, 17 Найти х и y. Решение

Решение. т.к. d=a 2 -a 1 =a 3 -a 2 =…,то х-2=y-x=17-y. Решая уравнение, получаем, что х=7 y=12.

Задача 2 Есть арифметическая прогрессия. Девятый член этой прогрессии в 5 раз больше второго члена. Тринадцатый член прогрессии в 2+5/а 6 больше шестого члена. Найти первый член и разность арифметической прогрессии. Решение

Решение. Т.к а 2 =а 1 +d, а 3 =а 1 +2d=…,то а 9 =а 1 +8d а 2 =а 1 +d а 13 =а 1 +12d а 6 =а 1 +5d. а 9 =5а 2 и а 13 =а 6 *2+5 можно записать так: а 1 +8d=5(а 1 +d) и а 1 +12d=2(а 1 +5d)+5

Решив систему уравнений, получим что d=4 a 1 =3.