Выполнила Рыжих Наталья,10 класс МОУ СОШ7г.Алексеевки, Белгородской области Решение неравенства с модулем по правилу минимакса

Найти все значения параметра а, при которых неравенство 5х + 7| х – а | + 3| х + 3 | + 6 | х - 3| > 145 принимает минимальное значение принимает минимальное значение

Решение шестое (по правилу минимакса) Основная идея. Если любое значение функции больше некоторой константы, то это равносильно тому, что минимальное значение функции больше этой константы, при условии, что минимальное значение этой функции существует.

То есть x y(x) > C 0 min y(x) >C 0 x x y(x) > C 0 min y(x) >C 0, x если min y(x) существует. x

Пусть y(x) = 5х + 7| х – а | + 3| х + 3 | + 6 | х - 3|.

Поскольку при любом раскрытии всех модулей функция y(x) является линейной функцией, то все свои экстремальные значения она принимает в точках «излома», то есть при х = а, х = -3 и х = 3.

Графиком функции y(x) является ломаная линия (не более, чем четырехзвенная), «ветви» которой уходят в плюс-бесконечность. Поэтому минимальное значение функции у(х) существует и достигается в одной из точек «излома».

То есть min y(x) Є { y(а); y(-3); y(3)}. х

Отсюда следует, что исходное неравенство выполняется для всех значений х только и только тогда, когда

|5a + 3| a + 3| + 6| x - 3| > | а | + 6| а – 3 | > | 3 - а | + 3| | > 145 |5a + 3| a + 3| + 6| x - 3| > | а | + 6| а – 3 | > | 3 - а | + 3| | > 145

|5a + 3| a + 3| + 6| x - 3| > 145; 7 | a + 3| > 124; 7 | a - 3| > 112, |5a + 3| a + 3| + 6| x - 3| > 145; 7 | a + 3| > 124; 7 | a - 3| > 112,

|5a + 3| a + 3| + 6| a - 3| > 145, 7 | a + 3| > 124; a 19, |5a + 3| a + 3| + 6| a - 3| > 145, 7 | a + 3| > 124; a 19,

a 145, -7(a + 3) > 124, a 145, -7(a + 3) > 124,

a > 19, 5a + 3(a + 3) + 6(a – 3) > 145, 7( a + 3) >124 a > 19, 5a + 3(a + 3) + 6(a – 3) > 145, 7( a + 3) >124

a < -13, a < -34, или а < - 145/7, a < -13, a < -34, или а < - 145/7,

а > 19, a > 11, a > 103/7 а > 19, a > 11, a > 103/7

a 19. a 19.

Ответ: a 19. Ответ: a 19.