ТЕМА 6. Модели денежного обращения и финансовой сферы 6.1. Модели денежного рынка Модель предложения денег Модель Баумоля-Тобина Моделирование инфляции на макроуровне Математические модели в финансовых операциях Модели денежного рынка Модель предложения денег Модель Баумоля-Тобина Моделирование инфляции на макроуровне Математические модели в финансовых операциях.

6.1. Модели денежного рынка

Рынок денег - совокупность отношений между банковской системой, создающей всеобщие платежные средства – деньги, и остальными экономическими субъектами, предъявляющими спрос на них.

Модель предложения денег.

Денежные агрегаты М0 – банкноты и монеты, находящиеся в обращении вне банковской системы (наличные деньги); М1 – наличные деньги плюс вклады в коммерческих банках до востребования (без депозитов органов государственного управления); М2 – сумма М1 и среднесрочных (до 4 лет) вкладов в коммерческих банках); М3 - сумма М2 и долгосрочных вкладов в коммерческих банках. М0 – банкноты и монеты, находящиеся в обращении вне банковской системы (наличные деньги); М1 – наличные деньги плюс вклады в коммерческих банках до востребования (без депозитов органов государственного управления); М2 – сумма М1 и среднесрочных (до 4 лет) вкладов в коммерческих банках); М3 - сумма М2 и долгосрочных вкладов в коммерческих банках.

Модель предложения денег CM – сумма наличных денег на руках у населения; R - резервы банков; R = R обяз +R изб ; D – депозиты. Денежная база: H = CM + R. Предложение денег (денежная масса): M = CM + D. α = R/D – норма резервирования депозитов; α = α обяз + α изб ; β = СM/D – коэффициент депонирования денег. CM – сумма наличных денег на руках у населения; R - резервы банков; R = R обяз +R изб ; D – депозиты. Денежная база: H = CM + R. Предложение денег (денежная масса): M = CM + D. α = R/D – норма резервирования депозитов; α = α обяз + α изб ; β = СM/D – коэффициент депонирования денег.

Модель предложения денег M = β D + D = (β + 1) D H = β D + α D = D (α + β). Следовательно: А значит: M = β D + D = (β + 1) D H = β D + α D = D (α + β). Следовательно: А значит:

Модель предложения денег - денежный мультипликатор, который показывает, что на каждый рубль прироста денежной базы приходится m рублей прироста денежной массы.

Модель предложения денег Предложение денег увеличивается, если: растет денежная база (H); снижается норма резервирования депозитов (α = α (α обяз, i)); снижается коэффициент депонирования денег (β = β (i)). M = M (α обяз, i, H) – функция предложения денег. Предложение денег увеличивается, если: растет денежная база (H); снижается норма резервирования депозитов (α = α (α обяз, i)); снижается коэффициент депонирования денег (β = β (i)). M = M (α обяз, i, H) – функция предложения денег.

Модель Баумоля-Тобина.

Спрос на деньги: сущность Спрос на деньги - желание экономических субъектов иметь в своем распоряжении определенное количество платежных средств (кассу). Мотивы хранения денег (виды спроса): трансакционный мотив (спрос на деньги для сделок); мотив предосторожности, когда спрос на деньги должен удовлетворить непредвиденные обстоятельства; спекулятивный мотив (спрос на деньги как имущество). Спрос на деньги - желание экономических субъектов иметь в своем распоряжении определенное количество платежных средств (кассу). Мотивы хранения денег (виды спроса): трансакционный мотив (спрос на деньги для сделок); мотив предосторожности, когда спрос на деньги должен удовлетворить непредвиденные обстоятельства; спекулятивный мотив (спрос на деньги как имущество).

Модель Баумоля-Тобина y N - номинальный ежемесячный доход индивида; i – доход по текущему счету (процентов в месяц); h - издержки конвертации (за каждую операцию); n – число конвертаций. y N - номинальный ежемесячный доход индивида; i – доход по текущему счету (процентов в месяц); h - издержки конвертации (за каждую операцию); n – число конвертаций.

Модель Баумоля-Тобина Среднемесячный запас наличности (спрос на деньги): L сд = y N / 2n. Процентные издержки хранения денег: i y N / 2n. Издержки конвертации: h n. Общие издержки держания кассы:. Среднемесячный запас наличности (спрос на деньги): L сд = y N / 2n. Процентные издержки хранения денег: i y N / 2n. Издержки конвертации: h n. Общие издержки держания кассы:.

Модель Баумоля-Тобина Издержки достигают минимума при:,. Издержки достигают минимума при:,.

Модель Баумоля-Тобина Спрос на деньги для сделок: Спрос на деньги для сделок:

6.2. Моделирование инфляции на макроуровне

Модель инфляции: сущность Модель инфляции – это модель динамического взаимодействия совокупного спроса и совокупного предложения. Y t D (π t ) – динамическая функция совокупного спроса Y t S (π t ) - динамическая функция совокупного предложения π t = (P t – P t-1 )/P t - темп прироста уровня цен (темп инфляции) Модель инфляции – это модель динамического взаимодействия совокупного спроса и совокупного предложения. Y t D (π t ) – динамическая функция совокупного спроса Y t S (π t ) - динамическая функция совокупного предложения π t = (P t – P t-1 )/P t - темп прироста уровня цен (темп инфляции)

Динамическая функция совокупного предложения Без инфляционных ожиданий: С инфляционными ожиданиями: Без инфляционных ожиданий: С инфляционными ожиданиями:

Динамическая функция совокупного спроса..

Динамическое взаимодействие совокупного спроса и предложения Y t S = Y F + 1/β (π t –π e t ). Y t S = Y F + 1/β (π t –π e t ).

Динамическое взаимодействие совокупного спроса и предложения При π e t = π t-1 : Y t S = Y F + 1/β (π t –π t-1 ) При π e t = π t-1 : Y t S = Y F + 1/β (π t –π t-1 )

Исходное равновесие Динамическое равновесие при полной занятости и отсутствии инфляции: Y t = Y t-1 = Y t-2 =…= Y t-n = Y F π t = π t-1 = π t-2 = … = π t-n =0 A t = 0 `M t = 0 Динамическое равновесие при полной занятости и отсутствии инфляции: Y t = Y t-1 = Y t-2 =…= Y t-n = Y F π t = π t-1 = π t-2 = … = π t-n =0 A t = 0 `M t = 0

Монетарный импульс Пусть А t = 0, ожидания не влияют на совокупный спрос. Тогда динамическое взаимодействие совокупного спроса и предложения: Y t S = Y F + 1/β (π t –π t-1 ) Пусть А t = 0, ожидания не влияют на совокупный спрос. Тогда динамическое взаимодействие совокупного спроса и предложения: Y t S = Y F + 1/β (π t –π t-1 )

Монетарный импульс: развитие `M t,, π t Y D (π) 3 Y S L (π) Y D (π) 2 E 3 π 3 Y S (π) 3 Y D (π) 1 E 2 π 2 Y S (π) 2 `M 1 Y S (π) 0 Y D (π) 0 E 1 π 1 E 0 Y F Y 3 Y 1 Y 2 Y t `M t,, π t Y D (π) 3 Y S L (π) Y D (π) 2 E 3 π 3 Y S (π) 3 Y D (π) 1 E 2 π 2 Y S (π) 2 `M 1 Y S (π) 0 Y D (π) 0 E 1 π 1 E 0 Y F Y 3 Y 1 Y 2 Y t

Монетарный импульс: первый период Пусть `M 1 > 0, тогда: Y D (π) 0 Y D (π) 1 (сдвиг вверх на `M 1 ) Y S (π) 1 = Y S (π) 0 В точке Е 1 : Y = Y 1, π = π 1, 0 < π 1 0, тогда: Y D (π) 0 Y D (π) 1 (сдвиг вверх на `M 1 ) Y S (π) 1 = Y S (π) 0 В точке Е 1 : Y = Y 1, π = π 1, 0 < π 1

Монетарный импульс: второй период Y S (π) 1 Y S (π) 2 (сдвиг вверх на π 1 ). Y D (π) 1 Y D (π) 2 (сдвиг вверх на Y 1 – Y F ). В точке Е 2 : Y = Y 2 > Y 1, π = π 2 > `M 1. Y S (π) 1 Y S (π) 2 (сдвиг вверх на π 1 ). Y D (π) 1 Y D (π) 2 (сдвиг вверх на Y 1 – Y F ). В точке Е 2 : Y = Y 2 > Y 1, π = π 2 > `M 1.

Монетарный импульс: третий период Y S (π) 2 Y S (π) 3 (сдвиг вверх на π 2 – π 1 ). Y D (π) 2 Y D (π) 3 (сдвиг вверх на Y 2 – Y 1 ). В точке Е 3 : Y = Y 3 π 2 > `M 1. Y S (π) 2 Y S (π) 3 (сдвиг вверх на π 2 – π 1 ). Y D (π) 2 Y D (π) 3 (сдвиг вверх на Y 2 – Y 1 ). В точке Е 3 : Y = Y 3 π 2 > `M 1.

Монетарный импульс: факторы π t Исходя из динамики совокупного `M `M = π спроса: Если `M > π t, то Y t > Y t-1 Если `M = π t, то Y t = Y F = const. Если `M < π t, то Y t Y t < Y t-1 π t Исходя из динамики совокупного `M `M = π спроса: Если `M > π t, то Y t > Y t-1 Если `M = π t, то Y t = Y F = const. Если `M < π t, то Y t Y t < Y t-1

Монетарный импульс: факторы π t Исходя из динамики совокупного предложения: Если Y t > Y F, то р t > р t-1 Если Y t < Y F, то р t < р t-1 Y F Y t π t Исходя из динамики совокупного предложения: Если Y t > Y F, то р t > р t-1 Если Y t < Y F, то р t < р t-1 Y F Y t

Монетарный импульс: факторы π t π t A E 3 E D E 2 `M B `M = π `M E 1 C E 0 Y F Y t Y F Y t. π t π t A E 3 E D E 2 `M B `M = π `M E 1 C E 0 Y F Y t Y F Y t.

6.3. Математические модели в финансовых операциях

Основные понятия Математические модели финансовых вычислений – совокупность моделей и методов расчета, позволяющих количественно оценить результат той или иной финансовой операции. Позволяют решать следующие задачи: Расчет процентов, дисконтирование и учет. Анализ потоков платежей, распределенных во времени. Оценка эффективности операций с валютой. Анализ финансовых последствий изменений условий контракта. Расчет амортизационных отчислений. Анализ эффективности инвестиционных и коммерческих проектов. Расчет доходности различных ценных бумаг и операций с ними. Математические модели финансовых вычислений – совокупность моделей и методов расчета, позволяющих количественно оценить результат той или иной финансовой операции. Позволяют решать следующие задачи: Расчет процентов, дисконтирование и учет. Анализ потоков платежей, распределенных во времени. Оценка эффективности операций с валютой. Анализ финансовых последствий изменений условий контракта. Расчет амортизационных отчислений. Анализ эффективности инвестиционных и коммерческих проектов. Расчет доходности различных ценных бумаг и операций с ними.

Основные понятия Следствием принципа неравноценности денег во времени является неправомерность суммирования в финансовых вычислениях денежных величин, относящихся к разным моментам времени. Учет фактора времени в финансовых вычислениях осуществляется с помощью начисления процентов и дисконтирования. Следствием принципа неравноценности денег во времени является неправомерность суммирования в финансовых вычислениях денежных величин, относящихся к разным моментам времени. Учет фактора времени в финансовых вычислениях осуществляется с помощью начисления процентов и дисконтирования.

Основные понятия Процентные деньги (проценты) - абсолютная величина дохода от предоставления денег в долг в любой форме. Процентная ставка - показатель, характеризующий интенсивность начисления процентов за единицу времени, рассчитывается как отношение суммы процентных денег к величине ссуды и выражается либо в долях единицы, либо в процентах. Процентные деньги (проценты) - абсолютная величина дохода от предоставления денег в долг в любой форме. Процентная ставка - показатель, характеризующий интенсивность начисления процентов за единицу времени, рассчитывается как отношение суммы процентных денег к величине ссуды и выражается либо в долях единицы, либо в процентах.

Основные понятия Виды процентных ставок: Простая процентная ставка применяется к одной и той же первоначальной сумме долга. Сложная процентная ставка применяется к наращенной сумме долга. Фиксированная процентная ставка - ставка, зафиксированная в виде определенного числа в финансовых контрактах. Постоянная процентная ставка - неизменная на протяжении всего периода ссуды. Переменная процентная ставка - дискретно изменяющаяся во времени, но имеющая конкретную числовую характеристику. Плавающая процентная ставка - привязанная к определенной величине, изменяющейся во времени. Виды процентных ставок: Простая процентная ставка применяется к одной и той же первоначальной сумме долга. Сложная процентная ставка применяется к наращенной сумме долга. Фиксированная процентная ставка - ставка, зафиксированная в виде определенного числа в финансовых контрактах. Постоянная процентная ставка - неизменная на протяжении всего периода ссуды. Переменная процентная ставка - дискретно изменяющаяся во времени, но имеющая конкретную числовую характеристику. Плавающая процентная ставка - привязанная к определенной величине, изменяющейся во времени.

Основные понятия Период начисления - отрезок времени между двумя следующими друг за другом процедурами взимания процентов. Увеличение суммы долга в связи с присоединением к ней процентных денег называется наращением, а увеличенная сумма - наращенной суммой. Коэффициент наращения - отношение наращенной суммы к первоначальной сумме долга. Период начисления - отрезок времени между двумя следующими друг за другом процедурами взимания процентов. Увеличение суммы долга в связи с присоединением к ней процентных денег называется наращением, а увеличенная сумма - наращенной суммой. Коэффициент наращения - отношение наращенной суммы к первоначальной сумме долга.

Простые проценты Простые ставки процентов применяются в краткосрочных финансовых операциях, когда интервал начисления совпадает с периодом начисления, или когда после каждого интервала начисления кредитору выплачиваются проценты.

Простые проценты: наращение Абсолютный прирост суммы за год: I = S - P. Общий абсолютный прирост за n лет: где - процентная ставка. Наращенная сумма по схеме простых процентов: (1 + in) – коэффициент наращения Абсолютный прирост суммы за год: I = S - P. Общий абсолютный прирост за n лет: где - процентная ставка. Наращенная сумма по схеме простых процентов: (1 + in) – коэффициент наращения

Простые проценты: наращение При продолжительности операции менее года: где n – срок ссуды в долях года К – число дней в году (временная база) t - срок операции в днях Способы расчета : 1. Обыкновенные или коммерческие проценты с приближенным числом дней ссуды (360/360). 2. Обыкновенные или коммерческие проценты с точным числом дней ссуды (365/360). 3. Точные проценты с точным числом дней ссуды (365/365). При продолжительности операции менее года: где n – срок ссуды в долях года К – число дней в году (временная база) t - срок операции в днях Способы расчета : 1. Обыкновенные или коммерческие проценты с приближенным числом дней ссуды (360/360). 2. Обыкновенные или коммерческие проценты с точным числом дней ссуды (365/360). 3. Точные проценты с точным числом дней ссуды (365/365).

Простые проценты: наращение Если процентные ставки не остаются неизменными во времени, то формула наращения: где i t - ставка простых процентов в периоде с номером t, n t - продолжительность периода t - периода начисления по ставке i t. Если процентные ставки не остаются неизменными во времени, то формула наращения: где i t - ставка простых процентов в периоде с номером t, n t - продолжительность периода t - периода начисления по ставке i t.

Простые проценты: дисконтирование и учет Расчет исходной суммы Р по заданной сумме S называется дисконтированием суммы S. Величина P, найденная путем дисконтирования, называется современной величиной или текущей стоимостью суммы S. Процесс начисления и удержания процентов вперед, до наступления срока погашения долга, называют учетом. Проценты в виде разности D = S-P называют дисконтом или скидкой. Расчет исходной суммы Р по заданной сумме S называется дисконтированием суммы S. Величина P, найденная путем дисконтирования, называется современной величиной или текущей стоимостью суммы S. Процесс начисления и удержания процентов вперед, до наступления срока погашения долга, называют учетом. Проценты в виде разности D = S-P называют дисконтом или скидкой.

Простые проценты: дисконтирование и учет Виды дисконтирования: 1.Математическое дисконтирование по процентной ставке представляет собой решение задачи, обратной наращению первоначальной суммы. Если в прямой задаче то в обратной - дисконтный множитель. Виды дисконтирования: 1.Математическое дисконтирование по процентной ставке представляет собой решение задачи, обратной наращению первоначальной суммы. Если в прямой задаче то в обратной - дисконтный множитель.

Простые проценты: дисконтирование и учет Виды дисконтирования: 2. Банковский учет - вид дисконтирования, при котором, исходя из известной суммы в будущем, определяют сумму в данный момент времени, удерживая дисконт. Для расчета процентов при банковском учете применяется учетная ставка: Тогда размер дисконта, удерживаемого банком, равен: а значит: - дисконтный множитель. Виды дисконтирования: 2. Банковский учет - вид дисконтирования, при котором, исходя из известной суммы в будущем, определяют сумму в данный момент времени, удерживая дисконт. Для расчета процентов при банковском учете применяется учетная ставка: Тогда размер дисконта, удерживаемого банком, равен: а значит: - дисконтный множитель.

Простые проценты: дисконтирование и учет Если учету подлежит долговое обязательство, по которому предусматривается начисление процентов, то: P 2 = P 1 (1 + n 1 i)(1 - n 2 d), где P 1 - первоначальная сумма долга; P 2 - сумма, получаемая при учете обязательства; n 1 - общий срок платежного обязательства; n 2 - срок от момента учета до погашения. Если учету подлежит долговое обязательство, по которому предусматривается начисление процентов, то: P 2 = P 1 (1 + n 1 i)(1 - n 2 d), где P 1 - первоначальная сумма долга; P 2 - сумма, получаемая при учете обязательства; n 1 - общий срок платежного обязательства; n 2 - срок от момента учета до погашения.

Сложные проценты Применение схемы сложных процентов целесообразно в тех случаях, когда: проценты не выплачиваются по мере их начисления, а присоединяются к первоначальной сумме долга срок ссуды более года. Применение схемы сложных процентов целесообразно в тех случаях, когда: проценты не выплачиваются по мере их начисления, а присоединяются к первоначальной сумме долга срок ссуды более года.

Сложные проценты: наращение Сумма наращения для сложных процентов: S = P(1+i) n где S – наращенная сумма; i – годовая ставка сложных процентов; n – срок ссуды. К нар = (1+i) n – множитель (коэффициент) наращения. Сумма наращения для сложных процентов: S = P(1+i) n где S – наращенная сумма; i – годовая ставка сложных процентов; n – срок ссуды. К нар = (1+i) n – множитель (коэффициент) наращения.

Сложные проценты: наращение Сумма наращения при переменной ставке: S = P(1+i 1 ) n1 (1+i 2 ) n2 …(1+i k ) nk. (1+i 1 ) n1 (1+i 2 ) n2 …(1+i k ) nk - множитель наращения Сумма наращения при переменной ставке: S = P(1+i 1 ) n1 (1+i 2 ) n2 …(1+i k ) nk. (1+i 1 ) n1 (1+i 2 ) n2 …(1+i k ) nk - множитель наращения

Сложные проценты: наращение Начисление процентов при дробном числе лет: общий метод: S = P(1 + i) n, смешанный метод: S = P(1 + i) a (1 + bi). где n = a + b - период сделки; a - целое число лет; b - дробная часть года. Начисление процентов при дробном числе лет: общий метод: S = P(1 + i) n, смешанный метод: S = P(1 + i) a (1 + bi). где n = a + b - период сделки; a - целое число лет; b - дробная часть года.

Сложные проценты: наращение Сопоставление простых и сложных процентов. Через сколько лет сумма ссуды возрастет в N раз при данной процентной ставке? а) для простых процентов (1+ni пр. ) = N, откуда n = (N-1) / i пр. б) для сложных процентов (1+i сл. ) n = N, откуда n = ln N/ ln(1+i сл ) При N=2, получаем формулы удвоения: а) для простых процентов n = 1 / i пр, б) для сложных процентов n = ln2 / ln(1+i сл ) Если учесть, что ln2=0,7, а ln(1+i сл.)=i, то n=0,7/i Сопоставление простых и сложных процентов. Через сколько лет сумма ссуды возрастет в N раз при данной процентной ставке? а) для простых процентов (1+ni пр. ) = N, откуда n = (N-1) / i пр. б) для сложных процентов (1+i сл. ) n = N, откуда n = ln N/ ln(1+i сл ) При N=2, получаем формулы удвоения: а) для простых процентов n = 1 / i пр, б) для сложных процентов n = ln2 / ln(1+i сл ) Если учесть, что ln2=0,7, а ln(1+i сл.)=i, то n=0,7/i

Сложные проценты: наращение Номинальная ставка – годовая ставка процентов, исходя из которой определяется величина ставки процентов в каждом периоде начисления, при начислении сложных процентов несколько раз в год. S = P(1 + j / m) N = P(1 + j /m) mn, где j - номинальная годовая ставка процентов. m – количество начислений в год n – срок долга в годах. Номинальная ставка – годовая ставка процентов, исходя из которой определяется величина ставки процентов в каждом периоде начисления, при начислении сложных процентов несколько раз в год. S = P(1 + j / m) N = P(1 + j /m) mn, где j - номинальная годовая ставка процентов. m – количество начислений в год n – срок долга в годах.

Сложные проценты: наращение Эффективная ставка - показывает, какая годовая ставка сложных процентов дает тот же финансовый результат, что и m-разовое наращение в год по ставке j/m. Равенство для множителей наращения: (1+i э ) n = (1+j/m) mn, где i э – эффективная ставка; j – номинальная. Тогда: i э = (1+j/m) m – 1. Эффективная ставка - показывает, какая годовая ставка сложных процентов дает тот же финансовый результат, что и m-разовое наращение в год по ставке j/m. Равенство для множителей наращения: (1+i э ) n = (1+j/m) mn, где i э – эффективная ставка; j – номинальная. Тогда: i э = (1+j/m) m – 1.

Сложные проценты: дисконтирование и учет При математическом учете решается задача, обратная наращению по сложным процентам. Тогда: P = S/(1+i) n = Sv n где v n = 1/(1+i) n - учетный или дисконтный множитель. Если проценты начисляются m раз в году, то: P= S/(1+j/m) mn = Sv mn где v mn = 1/(1+j/m) mn – учетный или дисконтный множитель. При математическом учете решается задача, обратная наращению по сложным процентам. Тогда: P = S/(1+i) n = Sv n где v n = 1/(1+i) n - учетный или дисконтный множитель. Если проценты начисляются m раз в году, то: P= S/(1+j/m) mn = Sv mn где v mn = 1/(1+j/m) mn – учетный или дисконтный множитель.

Сложные проценты: дисконтирование и учет При банковском учете дисконтирование по сложной учетной ставке осуществляется по формуле где d сл – сложная годовая учетная ставка. Дисконт в этом случае определяется. При банковском учете дисконтирование по сложной учетной ставке осуществляется по формуле где d сл – сложная годовая учетная ставка. Дисконт в этом случае определяется.