Введение в теорию пределов

Последовательность Опр. Числовой последовательностью называется функция, заданная на множестве N натуральных чисел. Кратко обозначается - общий или n- ый член последовательности Примеры:

Предел последовательности Число называется пределом последовательности если для любого положительного числа найдётся такое натуральное число N, что при всех n > N выполняется неравенство

Предел функции в точке Определение Коши (в терминах ) Число А называется пределом функции в точке (при ), если для любого найдётся число, что для всех, удовлетворяющих неравенству, выполняется неравенство

Односторонние пределы Число называется пределом функции в точке слева, если для любого существует, что при выполняется неравенство Число называется пределом функции в точке справа, если для любого существует, что при выполняется неравенство

Предел функции в бесконечности Число А называется пределом функции при, если для любого существует такое число М>0, что при всех, удовлетворяющих неравенству, выполняется неравенство

Основные теоремы о пределах Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов: Предел произведения двух функций равен произведению их пределов: Постоянный множитель можно выносить за знак предела: Функция может иметь только один предел при

Основные теоремы о пределах Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела: Предел дроби равен пределу числителя, делённому на предел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю:

Признаки существования пределов Теорема о пределе промежуточной функции. Если функция заключена между двумя функциями, стремящимися к одному и тому же пределу, то она стремится к этому пределу. Теорема о пределе монотонной функции. Если функция монотонная и ограниченная при, то существует соответственно её левый предел или её правый предел

Замечательные пределы I ЗП (первый замечательный предел) I I ЗП (второй замечательный предел) или

Эквивалентные бесконечно малые