ТЕМА 7. Применение теории игр в экономико-математическом моделировании 7.1. Основные понятия теории игр Поиск решения в игре Игры с природой Основные понятия теории игр Поиск решения в игре Игры с природой.

7.1. Основные понятия теории игр

Основные понятия Игра – ситуация, участники которой принимают решения в условиях взаимозависимости. Теория игр раздел математики, изучающий математические модели принятия решений в так называемых конфликтных ситуациях. Игрок - участник, принимающий решения. Стратегия - план действий игрока в условиях взаимозависимости. Выигрыш игрока – результат реализации стратегии. Игра – ситуация, участники которой принимают решения в условиях взаимозависимости. Теория игр раздел математики, изучающий математические модели принятия решений в так называемых конфликтных ситуациях. Игрок - участник, принимающий решения. Стратегия - план действий игрока в условиях взаимозависимости. Выигрыш игрока – результат реализации стратегии.

Основные понятия Платежная матрица игры – один из способов представления игры, таблица, в которой отражаются выигрыши (платежи) игроков при выборе ими различных стратегий. Равновесие в игре - набор стратегий, в наибольшей степени устраивающих всех участников. Доминантная стратегия – стратегия, предпочтительная для одного игрока вне зависимости от стратегии, выбранной другим игроком. Платежная матрица игры – один из способов представления игры, таблица, в которой отражаются выигрыши (платежи) игроков при выборе ими различных стратегий. Равновесие в игре - набор стратегий, в наибольшей степени устраивающих всех участников. Доминантная стратегия – стратегия, предпочтительная для одного игрока вне зависимости от стратегии, выбранной другим игроком.

Типы игр 1.Парные и множественные игры 2.Кооперативные и некооперативные игры 3.Симметричные и несимметричные игры 4.Игры с нулевой суммой и с ненулевой суммой 5.Параллельные и последовательные игры 6.Игры с полной или неполной информацией 7.Игры с конечным и бесконечным числом шагов 8.Дискретные и непрерывные игры 1.Парные и множественные игры 2.Кооперативные и некооперативные игры 3.Симметричные и несимметричные игры 4.Игры с нулевой суммой и с ненулевой суммой 5.Параллельные и последовательные игры 6.Игры с полной или неполной информацией 7.Игры с конечным и бесконечным числом шагов 8.Дискретные и непрерывные игры

Пример игры («дилемма заключенных») Заключенный В Заключенный А ПризнаниеОтрицание Признание 4 года 5 лет 1 год Отрицание 1 год 5 лет 2 года

7.2. Поиск решения в игре

Игра с нулевой суммой: пример платежной матрицы СтратегииВ1 = 1В2= 2В3 = 3 А1 = 10-2 А2 = 210 А3 = 3210

Игра с нулевой суммой: общий вид платежной матрицы

Игра с нулевой суммой: выбор стратегии Игрок А (максиминная стратегия): Минимальный размер выигрыша по каждой стратегии (в каждой строке): Гарантированный («не меньше») выигрыш игрока А (нижняя цена игры): Игрок А (максиминная стратегия): Минимальный размер выигрыша по каждой стратегии (в каждой строке): Гарантированный («не меньше») выигрыш игрока А (нижняя цена игры):

Игра с нулевой суммой: выбор стратегии Игрок В (минимаксная стратегия): Максимальный размер проигрыша по каждой стратегии (в каждом столбце): Гарантированный («не больше») проигрыш игрока В (верхняя цена игры): Игрок В (минимаксная стратегия): Максимальный размер проигрыша по каждой стратегии (в каждом столбце): Гарантированный («не больше») проигрыш игрока В (верхняя цена игры):

Игра с нулевой суммой: выбор стратегии Для игры с нулевой суммой: α β. Если α = β, то такую игру называют игрой с седловой точкой, а пару оптимальных стратегий (А опт ;В опт ) седловой точкой матрицы. Если игра имеет седловую точку, то говорят, что она решается в чистых стратегиях. Для игры с нулевой суммой: α β. Если α = β, то такую игру называют игрой с седловой точкой, а пару оптимальных стратегий (А опт ;В опт ) седловой точкой матрицы. Если игра имеет седловую точку, то говорят, что она решается в чистых стратегиях.

Игра с нулевой суммой: выбор стратегии Если платежная матрица не имеет седловой точки, то решение игры заключается в формировании смешанной стратегии, состоящей в случайном применении двух и более стратегий с определенной вероятностью. В этом случае стратегии игроков задаются вероятностями их применения. Для первого игрока: x = (x 1 …x m ), Для второго игрока: y = (y 1 …y n ), Если платежная матрица не имеет седловой точки, то решение игры заключается в формировании смешанной стратегии, состоящей в случайном применении двух и более стратегий с определенной вероятностью. В этом случае стратегии игроков задаются вероятностями их применения. Для первого игрока: x = (x 1 …x m ), Для второго игрока: y = (y 1 …y n ),

Игра с ненулевой суммой: равновесие в некооперативной игре Пара стратегий (x*; y*) для игроков 1 и 2 является точкой равновесия по Нэшу, если ни один из игроков не может улучшить свое положение без изменения стратегии другого игрока. Иными словами, для любых x и y: a 1 (x; y*) a 1 (x*; y*) a 2 (x*; y) a 2 (x*; y*). Пара стратегий (x*; y*) для игроков 1 и 2 является точкой равновесия по Нэшу, если ни один из игроков не может улучшить свое положение без изменения стратегии другого игрока. Иными словами, для любых x и y: a 1 (x; y*) a 1 (x*; y*) a 2 (x*; y) a 2 (x*; y*).

Игра с ненулевой суммой: равновесие в кооперативной игре АВ – Парето-опти- мальные решения DE – ядро игры (переговорное множество) М – равновесие по Нэшу, в этой точке: max (a 1 – c 1 )(a 2 – c 2 ) АВ – Парето-опти- мальные решения DE – ядро игры (переговорное множество) М – равновесие по Нэшу, в этой точке: max (a 1 – c 1 )(a 2 – c 2 )

7.3. Игры с природой

Оптимальная стратегия в игре с природой Если игрок А со стратегиями A i – человек, а игрок В со стратегиями B j – природа, вероятности наступления каждой из стратегий B j известны: p 1 + p 2 +… + p n = 1, то математическое ожидание выигрыша по каждой стратегии игрока А составит: p 1 a i1 + p 2 a i2 +… + p n a in. Оптимальной будет стратегия, при которой достигается:. Если игрок А со стратегиями A i – человек, а игрок В со стратегиями B j – природа, вероятности наступления каждой из стратегий B j известны: p 1 + p 2 +… + p n = 1, то математическое ожидание выигрыша по каждой стратегии игрока А составит: p 1 a i1 + p 2 a i2 +… + p n a in. Оптимальной будет стратегия, при которой достигается:.

Критерии выбора стратегии в игре с природой 1.Критерий Вальда (пессимистический): 2.Критерий максимума (оптимистический): 1.Критерий Вальда (пессимистический): 2.Критерий максимума (оптимистический):

Критерии выбора стратегии в игре с природой 3. Критерий Гурвица (смешанный): где α – степень оптимизма, меняющаяся в диапазоне от 0 до Критерий Сэвиджа (оценка потерь): Элементы матрицы рисков: Оптимальная стратегия:. 3. Критерий Гурвица (смешанный): где α – степень оптимизма, меняющаяся в диапазоне от 0 до Критерий Сэвиджа (оценка потерь): Элементы матрицы рисков: Оптимальная стратегия:.