ПРИМЕНЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЛОЩАДЕЙ ПОВЕРХНОСТЕЙ Выполнил: ст.гр.2г21 Бучельников В.С. Руководитель: доц. к.п.н. Тарбокова Т.В. Томск-2013

Определенным интегралом от функции y=ƒ (x) в интервале [а ; b ] называется конечный предел соответствующей интегральной суммы при неограниченном увеличении числа разбиений промежутка на части (n ) и стремлении длин всех частичных промежутков к нулю.

ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ Поверхность вращения поверхность, образуемая при вращении вокруг прямой (оси поверхности) произвольной линии (прямой, плоской или пространственной кривой).

Пусть кривая АВ задана уравнением y = f (x), а х b, и пусть функция y = f (x) неотрицательна и непрерывна вместе со своей первой производной на отрезке [а, b]. Тогда поверхность, образованная вращением кривой АВ вокруг оси ОХ, имеет площадь S, которая может быть вычислена по формуле Доказательство: Разобьем кривую АВ на n частей точками А = А 0, A 1, A 2, …, A i - 1, A i, …, An = B

Длину частичной дуги A i - 1 A i обозначим через Δ l = l i l i - 1. Площадь Si боковой поверхности вращения приближенно равной S i 2 π y(ξ i ) Δ l i. Площадь всей поверхности вращения приближенно равна сумме площадей частичных поверхностей S i т.е. Перейдем в интеграле от переменной L к переменной X

Так как, окончательно получим

Замечание. Если поверхность получается вращением кривой АВ, заданной уравнением х = φ (у), с у d вокруг оси Оу, то ее площадь поверхности равна

ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ ШАРОВОГО ПОЯСА Р е ш е н и е. Поверхность шарового пояса можно рассматривать как поверхность тела, полученного при вращении дуги окружности

Так как то

ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ, ПОЛУЧАЕМОЙ ВРАЩЕНИЕМ КРИВОЙ, ЗАДАННОЙ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ

Пример 1. Вычислить площадь S поверхности, полученной вращением циклоиды x = a*(t sint), y = a*(1 cost), 0 t 2π, вокруг оси Ох. Решение. По формуле имеем

ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ, ПОЛУЧАЕМОЙ ВРАЩЕНИЕМ КРИВОЙ, ЗАДАННОЙ В ПОЛЯРНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ Кривая задана в полярных координатах уравнением ρ = ρ(φ), α φ β, где ρ(φ) имеет непрерывную производную на [α, β]. Этот случай с помощью формул перехода х = ρ(φ)cos φ, у = ρ (φ)sin φ приводится к параметрической форме задания кривой и к формуле площади поверхности.

ВТОРАЯ ТЕОРЕМА ГУЛЬДИНА Площадь поверхности тела, образованного вращением дуги кривой вокруг непересекающей её оси, равна произведению длины дуги кривой l на длину окружности (l=2πd), которую описывает её центр тяжести. Fвр= l дуги 2 πd

Найти объем и площадь поверхности тора, образованного вращением вокруг оси OY фигуры, ограниченной линией (x-5)2+y2=9. Sфиг.= πR 2 =9π. Vвр =Sфиг. 2 πd=9π*2π*5=90π2 Fвр= lдуги 2 πd=6 π*2 π*5=60 π

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!