Лекция 10 по дисциплине «Основы мехатроники и робототехники» тема: «Кинематика манипулятора» Мамонова Татьяна Егоровна гр. 14Б10

Задачи кинематики Задачей кинематики является аналитическое описание пространственного расположения звеньев манипулятора в зависимости от времени, и, в частности, установление связи между значениями присоединенных координат манипулятора и положением и ориентацией его схвата в декартовом пространстве. 1

Механический манипулятор можно рассматривать как разомкнутую кинематическую цепь, которая состоит из: нескольких твердых тел (звеньев), последовательно соединенных вращательными или поступательными сочленениями, приводимыми в движение силовыми приводами. 2

Один конец этой цепи соединен с основанием, а другой конец свободен и снабжен рабочим инструментом, позволяющим воздействовать на объекты манипулирования или выполнять различные технологические, например сборочные, операции. Относительное движение сочленений передается звеньям, в результате чего охват манипулятора занимает в пространстве заданное положение. 3

В большинстве приложений робототехники требуется описать пространственное положение схвата по отношению к заданной абсолютной системе координат. 4

Кинематика манипулятора изучает геометрию движения манипулятора относительно заданной абсолютной системы координат, не рассматривая силы и моменты, порождающие это движение. Таким образом, ее предметом является описание пространственного положения манипулятора как функции времени, и, в частности, соотношения между пространством присоединенных переменных манипулятора – обобщенными координатами, положением и ориентацией схвата. 5

Две основные задачи кинематики манипулятора 1) Прямая задача кинематики: для конкретного манипулятора по известному вектору присоединенных углов – обобщенных координат и заданным геометрическим параметрам звеньев ( n – число степеней свободы) определить положение и ориентацию схвата манипулятора относительно абсолютной си­стемы координат. 6

2) Обратная задача кинематики: при известных геометрических параметрах звеньев найти все возможные векторы присоединенных переменных манипулятора, обеспечивающие заданные положение и ориентацию схвата относительно абсолютной системы координат. 7

Поскольку собственными независимыми переменными манипулятора являются присоединенные переменные, а задача, как правило, формулируется в координатах абсолютной системы отсчёта, обратная задача кинематики возникает более часто, чем прямая. 8

Блок-схема, иллюстрирующая взаимосвязь задач кинематики Рис Прямая и обратная задачи кинематики 9

Так как звенья манипулятора совершают вращательное и/или поступательное движение относительно абсолютной системы координат, результирующее пространственное положение схвата определяется угловым и поступательным движениями звеньев. Для описания взаимного пространственного положения двух смежных звеньев этот подход использует однородную матрицу преобразования размерностью 4×

Прямая задача кинематики сводится тем самым к определению однородной матрицы преобразования, характеризующей пространственное положение системы координат схвата манипулятора в абсолютной системе отсчета. Однородные матрицы преобразования используются также при выводе уравнений динамики движения манипулятора. 1

К решению обратной задачи кинематики существует, несколько подходов. Наиболее часто используются: - методы матричной алгебры, - метод итераций, - геометрический подход на примере решения обратной задачи кинематики простого манипулятора с вращательными сочленениями 1212

Рассмотрим геометрический подход, основой для которого служат понятия систем координат звеньев и конфигураций манипулятора. Будет предложен более общий подход с использованием однородных матриц размерностью 4X4, который проиллюстрирован на примере решения обратной задачи кинематики простых манипуляторов. 1313

Матрицы поворота Матрицу поворота размерностью 3х3 можно определить как матрицу преобразования трехмерного вектора положения в евклидовом пространстве, переводящую его координаты из связанной системы отсчета OUVW в абсолютную систему координат OXYZ. 1414

На рис. 2 показаны две правые прямоугольные системы координат: системы координат OXYZ с осями OX, OY, OZ и система OUVW с осями OU, OV, OW. Рис Абсолютная и связанная системы координат 1515

Начала этих систем совпадают и расположены в точке О. Система OXYZ фиксирована в трехмерном пространстве и принята за абсолютную систему координат, а система координат OUVW вращается относительно абсолютной системы OXYZ. Физически система OUVW может рассматриваться как связанная система, координат. Это означает, что она соответствующим образом жестко связана с твердым телом (например, с летательным аппаратом или звеном манипулятора) и движется вместе с ним. 1616

Пусть и – единичные векторы, направленные вдоль осей систем OXYZ и OUVW соответственно. Некоторую точку p в пространстве можно охарактеризовать координатами относительно любой из указанных систем. Для простоты рассуждений предположим, что точка р фиксирована и неподвижна в системе отсчета OUVW. 1717

Тогда в системах координат OUVW и OXYZ точка будет иметь соответственно координаты где и характеризуют положение одной и той же точки относительно различных систем отсчета. Верхний индекс T, добавляемый к обозначению вектора или матрицы, обозначает операцию транспонирования (1)

Задача состоит в том, чтобы определить матрицу R размерностью 3×3, которая преобразует координаты в координаты вектора p в системе OXYZ после того, как система OUVW будет повернута, т. е. физически точка р вращается вместе с системой координат OUVW. Из определения компонент вектора имеем 1919 (2) (3)

где представляют собой составляющие вектора p вдоль осей OU, OV и OW соответственно, или проекции вектора р на эти оси. Таким образом, используя определение скалярного произведения и равенство (3), получаем: р х = p i x = i x i u р и + i x j v p v + i x k w p w ; p y = p j y = j i u p u + j j v p v + j k w p w ; (4) p z = pk z =k z i u p u +k z j v p v + k z k w p w или в матричной форме: (5) 20

С учетом этого выражения матрица R в равенстве (2) примет вид Аналогично, координаты можно получить через координаты : (6) (7) (8) 21

Поскольку операция скалярного произведения коммутативна, то из соотношений (6)–(8) следует: где – единичная матрица размерностью 3×3. Преобразование, определяемое формулой (2) или (7), называется ортогональным преобразованием, а поскольку все векторы, входящие в скалярные произведения, единичные, его также называют ортонормальным преобразованием. (9) (10) 22

Особый интерес представляют матрицы поворота системы OUVW относительно каждой из трех основных осей системы OXYZ. Если положение системы OUVW в пространстве изменяется за счет поворота этой системы на угол вокруг оси ОХ, то в системе отсчета OXYZ изменятся и координаты (p x, p y, p z ) точки, имеющей в системе OUVW координаты. Соответствующая матрица преобразования называется матрицей поворота вокруг оси ОХ на угол α. 23

Основываясь на полученных выше результатах, для матрицы имеем: причём, Аналогично, трёхмерные (размера 3х3) матрицы поворота вокруг оси ОY на угол θ и вокруг оси OZ на угол (рис. 3) имеют вид: (11) (12) (13) 24

Рис Вращающаяся система координат 25

Матрицы называются матрицами элементарных поворотов. Любые другие матрицы конечных поворотов можно получить, используя матрицы элементарных поворотов. При этом надо иметь ввиду, что операция перемножения матриц не коммуникативна. Расположение матриц элементарных поворотов зависит от последовательности поворотов вокруг соответствующих осей. При повороте вокруг осей базовой (неподвижной) системы координат матрицы элементарных поворотов последовательно записываются в произведении слева от матрицы предыдущего поворота, при повороте вокруг осей подвижной системы координат – справа. 26

Пример Требуется найти матрицу поворота, являющегося результатом последовательного выполнения поворотов сначала на угол вокруг оси OY(OW), затем на угол θ вокруг оси OV и на угол α вокруг оси OU. Решение: = 27

Спасибо за внимание