Уравнение называют целым, если обе части его являются целыми выражениями (т.е. не содержат деления на выражения с переменными).

Таким образом, с помощью равносильных преобразований целое уравнение можно привести к виду, где многочлен n-й степени стандартного вида. Это уравнение 5-й степени, которое можно записать в виде, где Это уравнение 4-й степени, которое можно записать в виде, где Наша задача научиться решать уравнения n-й степени

При получаем линейное уравнение, которое имеет единственный корень При получаем квадратное уравнение Количество корней и сами корни определяются дискриминантом уравнения При многочлен можно привести к виду, который является уравнением 3-й степени. Количество корней не более трех и т.д. Вывод, уравнение n-й степени имеет не более n корней. Учебник 203(устно), 204, 206, 207,208, 209, (а,в)

Способы решения уравнений высоких степеней: Разложение многочлена на множители Использование метода замены переменной Графический способ

Разложение многочлена на множители Ответ:

Учебник 213(а, д, е, з) Самостоятельная работа 1 вариант2 вариант 214 (б,г,е)214(а,в,д)

Использование метода замены переменной В уравнении переменная входит в выражение, которое встречается дважды. Обозначим данное выражение через : Вернемся к замене: Ответ:

Метод введения новой переменной позволяет легко решать уравнения 4-й степени, имеющие вид Уравнения данного вида, являющиеся квадратными относительно, называют биквадратными уравнениями. Для их решения используют замену вида

Вернемся к замене: Ответ:

Учебник 220(а,в), 221(а,в), 225, 222 – 223(а,в,д), 224(а,г), 226

1 вариант2 вариант А1. Решите уравнение А2. Решите уравнение А3. Решите уравнение В1. Найдите координаты точек пересечения с осью абсцисс графика функции В2. Решите уравнение С1. При каких значениях n уравнение не имеет корней

Для некоторых целых уравнений приближенные значения корней нетрудно найти, используя графический способ решения Решим уравнение: Представим данное уравнение в виде Построим в одной системе координат графики функций и Так как функция является возрастающей, а функция убывающей, то уравнение имеет единственный корень.

Графики функций пересекаются в одной точке. Абсцисса точки пересечения приближенно равна 1,4. Значит рассматриваемое уравнение имеет единственный корень Ответ:

215

Пример 1 Деление многочленов Разделим многочлен четвертой степени на многочлен второй степени делитель частное остаток Делимое = делитель × частное + остаток

Пример 2 Разделим многочлен четвертой степени на многочлен второй степени. Т.е. или

Число а называется корнем многочлена, если при значении переменной х = а значение многочлена равно нулю, т.е.. число 2 является корнем, т.к.

Коэффициенты уравнения – целые числа, свободный член отличен от нуля, тогда уравнение имеет целый корень, который является делителем свободного члена:. Проверка показывает, что корнем уравнения является число. Тогда по теореме о корне многочлена: можно представить в виде, где многочлен второй степени, который является частным от деления на

Значит, исходное уравнение можно представить в виде Ответ:

Английский математик, работал в области алгебры. В 1819 опубликовал способ приближенного вычисления вещественных корней многочлена, который назвал способом Руффини Горнера. Этот способ был известен китайцам еще в 13 в. ГОРНЕР Вильямс Джордж (1786 – 1837) Именем Горнера названа схема деления многочлена на двучлен х а.

Схема Горнера Схема деления многочлена на двучлен х а

Коэффициенты уравнения – целые числа, свободный член отличен от нуля, тогда уравнение имеет целый корень, который является делителем свободного члена:. Проверка показывает, что корнем уравнения является число. Тогда по теореме о корне многочлена: можно представить в виде, где многочлен второй степени, который является частным от деления на. Разделим многочлен на двучлен с помощью схемы Горнера.

Запишем коэффициенты многочлена 1, -8, 13, -2 в верхнюю строку таблицы а = 2 В нижней строке таблицы в результате вычислений получим коэффициенты частного и остаток. Коэффициент при старшем члене частного равен коэффициенту при старшем члене данного многочлена, поэтому сносим 1 в нижнюю строку Далее: ; ;

Полученный результат означает, что коэффициенты частного: при х 2 - 1, при х - -6 и свободный член 1, а остаток равен 0:

Коэффициенты уравнения – целые числа, свободный член отличен от нуля, тогда уравнение имеет целый корень, который является делителем свободного члена:. Проверка показывает, что корнем уравнения является число. Тогда по теореме о корне многочлена: можно представить в виде, где многочлен второй степени, который является частным от деления на. Разделим многочлен на двучлен с помощью схемы Горнера.

Корней нет Ответ: 2

Т.к., то, а Вернемся к замене: Ответ:

Вернемся к замене: Ответ: