Моделирование динамики твердых тел и систем связанных тел с механическими соударениями Исполнитель: ст. гр. МП-50 Дябин Е. М. Руководитель: Асоцкий Д. И. Тема дипломной работы: Московский Государственный Институт Электронной Техники Кафедра ВМ 1

Существующие методы расчета динамики ПреимуществаНедостатки Динамика абсолютно твердых тел Метод Штрафов Простота реализацииНизкая точность Метод Импульсов Высокая точностьНестабильность Метод LCP Высокая стабильностьПроблемы с силой трения Динамика систем связанных тел Метод Физерстоуна Высокая точность и стабильность Высокая вычислительная сложность Метод LCP Удобный расчет контактов систем связанных тел Высокая вычислительная сложность Динамика деформируемых тел Метод пружин Высокая скоростьНизкая точность

Постановка задачи Основные подзадачи: - Расчет динамики абсолютно твердых тел - Расчет динамики систем связанных тел - Расчет динамики деформируемых тел 1)Реализовать и исследовать метод Якобсена. 2)Модифицировать метод Якобсена для обработки механических столкновений и длительных контактов. 3)Выбрать и реализовать метод обнаружения столкновений 4)Разработать оптимизацию обнаружения столкновений, учитывая специфику метода Якобсена. 5) Провести аналитическое и экспериментальное исследование полученного метода, оценить его производительность и точность. Разработать систему, решающую следующие задачи:

Модель абсолютно твердого тела M V y z x ω 0 y z x 0 1) Классическая модель2) Модель Якобсена V

Схема интегрирования Верле Позиционная форма: Постоянный шаг по времени: L L а 2b Необходимо несколько итерацийДостаточно 1-й итерации 1)Восстановление длины одной связи: 2) Восстановление длин нескольких связей: Переменный шаг по времени:

Представление соединений в модели Якобсена 1) Шарнир2) Петля3) Двойная петля Ограничители : Связь произвольной жесткости: N – кол-во итераций q – жесткость связи q [ 0, 1 ] | x 1 - x 2 | > L x1x1 x2x2

Обработка соударений (простой случай с шариками без трения) Lp – длина связи на предыдущем шаге k – коэффициент упругости ( k [ 0, 1]) | x 1 - x 2 | > R 1 +R 2 x1x1 x2x2 V 1а:1а: 1б:1б: V V 2а:2а: 2б:2б: Для абсолютно упругого удара: Для удара с коэффициентом упругости: V/2 2) Абсолютно упругий удар: 1) Абсолютно неупругий удар: (1) (2)

Обработка соударений произвольных фигур p q x1x1 x2x2 x 1 x 2 Контроль над произвольной точкой 1) Применение ограничивающих ящиков и сфер 2) Проверка пересечения примитивов и многогранников и выделение контактных точек Этапы проверки пересечений объектов: а b (1)

Модель силы трения Без силы трения: С бесконечной силой трения: С произвольной силой трения: F тр = F n = tg Контакт «вершина-грань» Контакт «ребро-ребро» Обработка контакта «вершина-грань» Контакты «грань-грань»

Моделирование деформируемых тел 1)Линейные цепи (веревки) 2) Плоские сетки (ткани) 3) Объемные сетки (любые фигуры)

Схема алгоритма Инициализация системы Подготовка проверки столкновений Проверка столкновений Добавление связей в новых точках контакта Расчет уточненных координат частиц Удаление устаревших контактных связей Итерационный процесс расчета взаимодействия тел Переход к следующему шагу по времени Расчет предварительных координат частиц по схеме Верле

Зависимость жесткости связей от параметров N iter N sqrt ΔtΔt k L/L r от числа итераций от числа приближений корняот коэффициента упругости от шага по времени

Производительность N t, сек. N – количество объектов (кубиков) t – среднее время расчета одного шага

Выводы Преимущества метода: 1) Единый алгоритм для расчета: - динамики твердых тел - динамики систем связанных тел - динамики деформируемых тел 2) Возможность настройки баланса между точностью и скоростью расчета 3) Высокая стабильность 4) Простота реализации Недостатки: 1)Многократная проверка пересечений 2)Сложный этап подготовки к использованию