Системы счисления

Что такое система счисления? Система счисления Система счисления это способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков (цифр). Существуют позиционные и непозиционные системы счисления. В непозиционных системах вес цифры (т.е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позиции в записи числа. Так, в римской системе счисления в числе XXXII (тридцать два) вес цифры X в любой позиции равен просто десяти. В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Например, в числе 757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая - 7 единиц, а третья - 7 десятых долей единицы. Сама же запись числа 757,7 означает сокращенную запись выражения ,7= 7* ° + 7*10 -1 = 757,7.

Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием. Основание позиционной системы счисления это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе. За основание можно принять любое натуральное число - два, три, четыре и т.д. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная и т.д.. Запись чисел в каждой из систем счисления с основанием q означает сокращенную запись выражения a n-1 q n-1 +a n-2 q n-2 +…+a 1 q 1 +a 0 q 0 +a -1 q -1 +…+a -m q -m где а 1 - цифры системы счисления; n и m - число целых и дробных разрядов, соответственно. Например: 1011, 1 2 = 1* * * *2° + 1*2 -1 ; 276, 52 8 = 2* * *8° + 5* *8 -2.

Кроме десятичной широко используются системы с основанием, являющимся степенью числа 2, а именно: двоичная (используются цифры О, 1); двоичная (используются цифры О, 1); восьмеричная (используются цифры О, 1,..., 7); восьмеричная (используются цифры О, 1,..., 7); шестнадцатеричная (для первых целых чисел от нуля до девяти используются цифры О, 1,..., 9, а для следующих чисел - от десяти до пятнадцати - в качестве цифр используются символы А, В, С, D, Е, F ). шестнадцатеричная (для первых целых чисел от нуля до девяти используются цифры О, 1,..., 9, а для следующих чисел - от десяти до пятнадцати - в качестве цифр используются символы А, В, С, D, Е, F ). Полезно запомнить запись в этих системах счисления первых двух десятков целых чисел: 10-я2-я8-я16-я я2-я8-я16-Я A B C D E F

ПОЧЕМУ ЛЮДИ ПОЛЬЗУЮТСЯ ДЕСЯТИЧНОЙ СИСТЕМОЙ, А ЭВМ - ДВОИЧНОЙ ? Люди предпочитают десятичную систему, вероятно, потому, что с древних времен считали. по пальцам, а пальцев у людей по десять на руках и догах. Не всегда и не везде люди пользуются десятичной системой счисления. В Китае, например, долгое время пользовались пятеричной системой счисления. А ЭВМ используют двоичную систему потому, что она имеет ряд преимуществ перед другими системами: О для ее реализации нужны технические элементы с двумя возможными состояниями (есть ток - нет тока, намагничен - ненамагничен и т.п.), а не, например, с десятью, как в десятичной, что намного проще; Из всех систем счисления особенно проста и поэтому интересна для технической реализации в ЭВМ двоичная система счисления.

представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво; возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации; двоичная арифметика намного проще десятичной; двоичные таблицы сложения и умножения предельно просты. Двоичная таблица сложенияДвоичная таблица умножения 0+0 = = =1 1+1=10 0*0 = 0 0*1 = 0 1*0 = = 1 Недостаток двоичной системы - быстрый рост числа разрядов необходимых для записи чисел.

ПОЧЕМУ В ЭВМ ИСПОЛЬЗУЕТСЯ ТАКЖЕ ВОСЬМЕРИЧНАЯ И ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНАЯ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ? Двоичная система, удобная для ЭВМ, для человека неудобна из- за её громоздкости и непривычной записи. Перевод чисел из десятичной системы в двоичную и наоборот выполняет машина. Однако, чтобы профессионально использовать ЭВМ, следует научиться понимать слово машины. Для этого и разработаны восьмеричная и шестнадцатеричная системы. Числа в этих системах читаются почти так же легко, как десятичные, требуют соответственно в три (восьмеричная) и в четыре (шёстнадцатеричная) раза меньше разрядов, чем в двоичной системе (ведь числа 8 и 16 - соответственно, третья и четвертая степени числа 2). Перевод восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоичную систему очень прост: достаточно каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр) или тетрадой (четверкой цифр): Например, 537,1 8 = , ; 1А3,F 16 = ,

Соответственно, чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную или шестнадцатеричную, его нужно разбить влево и вправо от запятой на триады (для восьмеричной) или тетрады (для шестнадцатеричной) и каждую такую группу заменить соответствующей восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой. Например, , = , = 251, , = , = A9,В8 16.

При переводе десятичного числа в систему с основанием q (q= 2, 8, 16) его необходимо последовательно делить на q до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный q-1. Число с основанием q записывается как последовательность остатков от деления, записанных в обратном порядке, начиная с последнего.

Пример. Перевести число 234 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную : Ответ: = =352 8 =EA 16

КАК ПЕРЕВОДЯТСЯ ЧИСЛА ИЗ ДВОИЧНОЙ (ВОСЬМЕРИЧНОЙ, ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНОЙ) СИСТЕМЫ В ДЕСЯТИЧНУЮ? Для этого число в двоичной (восьмеричной, шестнадцатеричной) системе надо представить в виде суммы степеней основания его системы счисления. Примеры: 1011,1 2 = ,1 = 1 * * *2° +1*2 -1 = 11, ,5 8 = ,5 = ° =190, F3 16 = 100+FО+З = ° =

НЕПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ. Единичная (унарная) система счисления. Находки археологов свидетельствуют, что первобытные люди отображали равным количеством значков (зарубки, черточки, точки) количество чего либо. Древнеегипетская десятичная система Славяне числа кодировали буквами а=1, В=2, Г=3; чтобы избежать путаницы ставился специальный знак ~ титло АЛФАВИТНАЯ система счисления. Славянская нумерация сохранялась до конца XVII века. При Петре I возобладала т.называемая арабская нумерация. Славянская нумерация сохранилась в богослужебных книгах.

Обычно целые числа занимают в памяти ЭВМ один, два или четыре байта. Целые числа без знака в двубайтовом формате (16 двоичных разрядов) могут принимать значения от нуля до (т.е. от 0 до ), а со знаком - от до (т.е. от до 32767). Знак «+» обычно кодируется нулем, а «-» единицей. Например, десятичное число 18 ( ) может быть записано в машине так:

Каждый символ имеет свой код т.е. последовательность из 8 нулей и единиц (байт). Всего существует 2 8 = 256 разных последовательностей из 8 нулей и единиц. Соответствие байтов и символов задается с помощью таблицы, в которой для каждого кода указывается соответствующий символ. Например:

Таким образом, последовательность символов «А+В» в памяти запишется следующим образом:

ВОСЬМЕРИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ Запись числа в двоичной системе удобна для компьютера, но громоздка для человека. На помощь приходят системы, родственные двоичной ВОСЬМИРИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ использует 8 цифр: 0,1,2,3,4,5,6,7. Единица, записанная в самом младшем разряде означает просто единицу (1*8 в нулевой степени), та же единица в следующем разряде обозначает 8 (1*8 в первой), в следующем 64(1*8 во второй)и т.д =1*8 2 +0*8 1 +0*8 0 = 1*64+0+0= это 2 в третьей степени. При переводе в восьмиричную систему двоичное число из трех записывается одной цифрой. Для перевода из двоичной в восьмиричную число, записанное в двоичной системе делим на триады справа налево Например, = и заменить каждую группу одной восьмиричной цифрой и получим Для перевода числа из восьмиричной системы в двоичную достаточно заменить каждую цифру на ее перевод в двоичную систему, представив каждую цифру в виде триады (1 в двоичной системе 1 добавляем до триады впереди 00)

Еще компактней выглядит запись двоичного числа в ШЕСТНАДЦАТИРИЧНОЙ СИСТЕМЕ СЧИСЛЕНИЯ. AOF AOF Для первых 10 из 16 шестнадцатиричных цифр используются привычные цифры , а для остальных используют первые буквы латинского алфавита A-10, B-11, C-12, D-13, E-14, F-15 Цифра 1 в самом младшем разряде означает 1, в следующем разряде означает 16 (в первой степени), в следующем разряде 16*16 (16 2 )=256, в следующем разряде 1*16 3 и т.д = Цифра F, записанная в самом младшем разряде означает 15 в десятичной системе, F в следующем разряде означает 15*16 в первой степени в десятичной системе и т.д разряды (степени числа 16) Число =10* * * =10* *1= = BAD 16 = 11* * *16 0 =11*256+10*16+13*1= = это 2 в четвертой степени. При переводе из двоичной системы в шестнадцатиричную число двоичное число из 4-х цифр кодируется числом из одной цифры в шестнадцатиричной системе. Для перевода числа из шестнадцатеричной системы в двоичную достаточно заменить каждую цифру на ее перевод в двоичную, представив каждую цифру в виде сочетания четырех 1 и 0

A B C D E F