Простейшие виды симметрии симметрия относительно плоскости (зеркальная симметрия) симметрия относительно точки (центральная симметрия) симметрия относительно прямой (осевая симметрия) симметрия вращения цилиндрическая симметрия сферическая симметрия

Вспомогательные образы (плоскости, точки, прямые и т.д.), с помощью которых устанавливается симметрия, называются элементами симметрии.

Симметрия относительно плоскости - это такое свойство геометрической фигуры, когда любой точке, расположенной по одну сторону плоскости, всегда будет соответствовать точка, расположенная по другую сторону плоскости, а отрезки, соединяющие эти точки, будут перпендикулярны плоскости симметрии и делятся ею пополам. Рис.1 Две симметричные фигуры или две симметричные части одной фигуры при всем их сходстве, равенстве объемов и площадей поверхностей, в общем случае, неравны, т.е. их нельзя совместить друг с другом (рис.1). Это разные фигуры, их нельзя заменить друг другом, например, правая перчатка, ботинок и т.д. не годятся для левой руки, ноги.

Предметы могут иметь одну, две, три и т.д. плоскостей симметрии. Например, прямая пирамида (рис.2а и 3а), основанием которой является равнобедренный треугольник, симметрична относительно одной плоскости Р. Призма с таким же основанием (рис.2б и 3б) имеет две плоскости симметрии. У правильной шестиугольной призмы (рис.2в и Зв) их семь. На рисунке не изображены те из них, которые подобно плоскостям Р и О, проходят через остальные диагонали и апофемы оснований. Тела вращения: шар, тор, цилиндр, конус и т.д. имеют бесконечное количество плоскостей симметрии. Рис.2 Рис.2 Рис. 3 Рис. 3

На чертежах плоскости симметрии изображаются тонкими штрихпунктирными линиями, являющимися как бы следами этих плоскостей (рис.3). Если такой след совпадает с другой линией чертежа, например, с контурной (рис.З а.б), то она проводится в виде тонких штрихов, выводимых за контур изображения на мм. На чертеже наносятся следы только тех плоскостей симметрии, которые перпендикулярны плоскости проекций данного изображения. На чертежах плоскости симметрии изображаются тонкими штрихпунктирными линиями, являющимися как бы следами этих плоскостей (рис.3). Если такой след совпадает с другой линией чертежа, например, с контурной (рис.З а.б), то она проводится в виде тонких штрихов, выводимых за контур изображения на мм. На чертеже наносятся следы только тех плоскостей симметрии, которые перпендикулярны плоскости проекций данного изображения. При наличии нескольких подобно расположенных плоскостей симметрии, как у призмы (рис.2в), на чертеже (рис.Зв) изображается только одна взаимно перпендикулярная пара следов, по возможности тех, которые параллельны плоскостям проекций. Для геометрических тел с плоскостями симметрии, параллельными их основаниям, например для призм (рис.2в), следы плоскостей симметрии на чертежах показывать не принято (рис.Зв). При наличии нескольких подобно расположенных плоскостей симметрии, как у призмы (рис.2в), на чертеже (рис.Зв) изображается только одна взаимно перпендикулярная пара следов, по возможности тех, которые параллельны плоскостям проекций. Для геометрических тел с плоскостями симметрии, параллельными их основаниям, например для призм (рис.2в), следы плоскостей симметрии на чертежах показывать не принято (рис.Зв).

Симметрия относительно точки или центральная симметрия (рис.5.4, 5.5, 5.6, 5.7) - это такое свойство геометрической фигуры, когда любой точке, расположенной по одну сторону центра симметрии, соответствует другая точка, расположенная по другую сторону центра. При этом точки находятся на отрезке прямой, проходящей через центр, делящий отрезок пополам. Рис. 4 Рис.5 Рис.6 Рис.7

Центральную симметрию имеют многие геометрические тела. К ним следует отнести все правильные многогранники (за исключением тетраэдра), все правильные призмы с четным числом боковых граней (рис.Зв), некоторые тела вращения (эллипсоид, цилиндр, гиперболоид, тор, шар). Центр симметрии многогранников указывает на наличие двух равных и взаимно параллельных граней. Например, у параллелепипеда (рис.6) грань АА 1 'В 1 'В равна и параллельна грани В 1 В 1 А 1 А 1. Рассмотрим симметричность вершин. Точке А симметричны две точки А 1. Одна - относительно центра симметрии многогранника, другая - относительно центра симметрии грани. В свою очередь, точкам А 1 симметрична точка А 1 ' и т.д. Как видно из чертежа, грани параллелепипеда и прямо, и обратно параллельны. В случае октаэдра (рис.7) имеется только обратная параллельность граней, например, АВС и А 1 В 1 С 1. Центральную симметрию имеют многие геометрические тела. К ним следует отнести все правильные многогранники (за исключением тетраэдра), все правильные призмы с четным числом боковых граней (рис.Зв), некоторые тела вращения (эллипсоид, цилиндр, гиперболоид, тор, шар). Центр симметрии многогранников указывает на наличие двух равных и взаимно параллельных граней. Например, у параллелепипеда (рис.6) грань АА 1 'В 1 'В равна и параллельна грани В 1 В 1 А 1 А 1. Рассмотрим симметричность вершин. Точке А симметричны две точки А 1. Одна - относительно центра симметрии многогранника, другая - относительно центра симметрии грани. В свою очередь, точкам А 1 симметрична точка А 1 ' и т.д. Как видно из чертежа, грани параллелепипеда и прямо, и обратно параллельны. В случае октаэдра (рис.7) имеется только обратная параллельность граней, например, АВС и А 1 В 1 С 1. Таким образом, симметричность относительно точки характеризуется тем, что любая проходящая через центр симметрии прямая отмечает на фигуре пару точек, т.е. точек, расположенных от нее на равных расстояниях. На чертежах технических деталей такие точки наносятся сравнительно редко, но при графических построениях, связанных с анализом кристаллических и молекулярных структур, им уделяется большое внимание. Таким образом, симметричность относительно точки характеризуется тем, что любая проходящая через центр симметрии прямая отмечает на фигуре пару точек, т.е. точек, расположенных от нее на равных расстояниях. На чертежах технических деталей такие точки наносятся сравнительно редко, но при графических построениях, связанных с анализом кристаллических и молекулярных структур, им уделяется большое внимание.

Симметрия относительно прямой (или осевая симметрия) - это такое свойство геометрической фигуры, когда любой точке, расположенной по одну сторону прямой, всегда будет соответствовать точка, расположенная по другую сторону прямой, а отрезки, соединяющие эти точки, будут перпендикулярны оси симметрии и делятся ею пополам (рис 8, 9 в предыдущем разделе). Рис. 8 Рис.9 Рис. 8 Рис.9

Симметрия вращения - это такое свойство геометрической фигуры, когда при повороте этой фигуры на угол a =360°/n около некоторой оси вращения она совместится со своим первоначальным положением (n - целое число; a - минимальный угол, на который нужно повернуть фигуру для ее совмещения). Ось, вокруг которой вращается фигура до ее совмещения, называют поворотной осью или осью вращения n -го порядка. В зависимости от величины n (равной 2,3,4,...,n) ось вращения называют второго (i 2 ), третьего (i 3 ), четвертого (i 4 ),..., n-го (i n ) порядка.

Рассмотрим чертеж правильной треугольной призмы (рис. 10а). Призма ориентирована относительно плоскостей проекций так, что ее ребро ВВ' и противолежащая этому ребру грань AA'C'C параллельны плоскости П 2. Эта же призма, но повернутая вокруг оси вращения, проходящей через центры оснований, на угол 120°, вычерчена вторично (рис. 10б). Этим чертежом доказывается, что призма в результате поворота как бы совместилась сама с собой, т.е. очертания видов и их размеры не изменились, а только одни элементы заменились другими, им равными. Так передним вместо ребра ВВ' стало ребро СС' и т.д. Если призму повернуть на тот же угол еще раз, то призма вновь совместится сама с собой. В данном случае это будет ось вращения третьего порядка (i 3 ). Рис 10 Рис 10

Кроме оси вращения 3-го порядка правильная треугольная призма имеет также 3 оси 2-го порядка (i 2 ), которые проходят через середины ребер и граней. Правильная пятиугольная призма (рис. 11) имеет ось вращения 5-го порядка и 5 осей 2-го порядка. Правильная шестиугольная пирамида (рис. 12) имеет только 1 ось 6-го порядка. Рис 11 Рис 12

Необходимо отметить, что оси вращения, имеющие четный порядок, одновременно являются и осями симметрии (рис.6, 7, 12). Оси симметрии и оси вращения, так же как плоскости симметрии, обязательно наносятся на чертежах в виде их проекций. Они изображаются тонкими штрихпунктирными линиями. На тех плоскостях, где ось симметрии проецируется в точку (см. горизонтальные проекции на рис.10, 11, 12), она показывается пересечением двух взаимноперпендикулярных штрихпунктирных линий, которые в практике обычно называют центровыми линиями. Таким образом, при чтении и выполнении чертежей следует помнить, что тонкая штрихпунктирная линия может быть на чертеже и осью симметрии, и проекцией плоскости симметрии. Если геометрическое тело обладает и тем, и другим свойством симметрии, то они изображаются одной и той же штрихпунктирной линией. Таким образом, при чтении и выполнении чертежей следует помнить, что тонкая штрихпунктирная линия может быть на чертеже и осью симметрии, и проекцией плоскости симметрии. Если геометрическое тело обладает и тем, и другим свойством симметрии, то они изображаются одной и той же штрихпунктирной линией.

Свойствами симметрии обладают молекулы и кристаллы многих веществ. На рис.13 показана структура молекулы оксида кремния. Как видно из рисунка, такой кристалл имеет зеркальную симметрию, центральную симметрию и симметрию вращения. Молекула хлорида цезия (рис.14) имеет зеркальную симметрию, центральную симметрию, симметрию относительно прямой и симметрию вращения. Рис 13 Рис. 14 Рис 13 Рис. 14