Случайные события и их вероятности Случайные события Введем еще одно понятие, связанные с испытаниями со случайными исходами – случайное событие. В Словаре русского языка С.И. Ожегова слово событие объясняется как «то, что произошло, то или иное значительное явление, факт общественной, личной жизни». Мы уже под случайными событиями будем понимать то, что может произойти в результате конкретного испытания. Обычно для краткости изложения случайные события обозначают заглавными буквами латинского алфавита: А, В, С………… И мы не будем отступать от этих традиций. Обозначим выигрыш ставки первым игроком через случайное событие А, а выигрыш ставки вторым игроком – через случайное событие В и мы сделаем графическое представление событий.

Если при появлении исхода испытания наступает какое- либо событие, то говорят, что данный исход благоприятствует наступлению этого события. Случайными событиями являются и сами исходы испытаний. Например: В урне три красных, два зеленых, один желтый шар. Достают один шар наугад. Используя базовое множество исходов испытаний, изобразите графически события: А – извлечен красный шар Б – извлечен желтый шар В – извлечен зеленый шар Базовое множество исходов испытания насчитывает шесть элементов: е 1 =К; е 2 =К; е 3 =К; е 4 =З; е 5 =З; е 6 =Ж. Изобразим эти исходы и события А, В и С точками. е1е1е1е1 е2е2е2е2 е3е3е3е3 А е4е4е4е4 е5е5е5е5 ВС е6е6е6е6

Вероятность случайного события Исходы испытания называют элементарными событиями, которым благоприятствуют два или более исходов, называют составными событиями. Случайное событие не может быть описано с помощью множества исходов испытания, если во множестве есть хотя бы один неоднозначный по отношению к этому событию исход. Под вероятностью события А понимают число Р(А), возле которого сосредотачиваются колебания значений статистических частот события а с увеличением количества повторных испытаний Пусть проводиться некоторое испытание, имеющее случайные исходы е 1, е 2, …, е n с вероятностями p 1, p 2, …, p n. Пусть случайному событию А в этом испытании благоприятствуют исходы e i, e j, …, e k, где I, j, …, k - номера исходов из 1,2, …, n. Вероятность случайного события А равна сумме вероятностей, благоприятствующих ему исходов испытания. Р(А)=p i + p j + … +p k. Если все исходы испытания равновероятны, то формула принимает вид: Р(А) = + + … + = 1 n 1 n 1 n m n m раз

В классе 25 человек. Из них двое – отличников, пять учатся на хорошо и отлично, семь - на отлично, хорошо и удовлетворительно, восемь на хорошо и удовлетворительно, а остальные - на удовлетворительно. Новый учитель вызывает наугад к доске ученика. Какова вероятность, что он вызвал ученика, не имеющего троек (событие А)? Не имеющего пятерок ( событие В)? Не имеющего ни четверок, ни пятерок (событие С)? е 1 – вызван отличник, вероятность этого исхода равна 2/25 е 2 – вызван ученик, у которого только четыре и пять, вероятность этого исхода равна 5/25=1/5 е 3 – вызван ученик, у которого есть и четверки и пятерки и тройки, вероятность этого исхода равна 7/25 е 5 – вызван троечник, вероятность этого исхода равна 3/25 Событию А благоприятствуют исходы е 1 и е 2, значит Р(А)= p 1 +p 2 = 2/25+1/5 =7/25 Событию В благоприятствуют исходы е 4 и е 5, значит Р(В)= p 4 +p 5 = 8/25+3/5 =11/25 е 4 – вызван ученик, у которого есть четверки и тройки, вероятность этого исхода равна 8/25 Событию С благоприятствует только исход е 5, значит Р(А)= p 5 = 3/25

Статистическая частота появления события А в повторных испытаниях примерно равна вероятности случайного события А. P N {A} = P(A) Это равенство широко используют для различных приближенных подсчетов, например, можно оценить количество бракованных изделий в партии, или численность какого-нибудь животного на определенной территории. В пруду поймали 56 карпов, пометили их и отпустили обратно в пруд. Спустя несколько дней снова сделали отлов рыбы, в котором среди 193 пойманных карпов восемь оказались меченными. Сколько приблизительно карпов в пруду? Обозначим через событие А, что пойманный карп в пруду окажется меченным. Пусть в пруду всего n карпов. Тогда Р(А) =56/n. Статистическая же частота события А при поимке 193 карпов равна P 193 {A} = 8/193 8/193 = 56/n n = 1351 Ответ: В пруду приблизительно 1351 карп

Зависимые и независимые испытания и случайные события Пусть в урне лежат три шара с номерами один, два, три. Из урны наугад достают два шара. Извлечение двух шаров из урны можно рассматривать как два единичных испытания, в каждом из которых достают по одному шару. Существует два способа достать шары из урны. Первый способ. Достают первый шар, записывают его номер, кладут этот шар обратно в урну, перемешивают шары, достают второй шар и снова записывают его номер. Испытания такого типа называют урновыми испытаниями по схеме с возвращением Если исходы одного испытания никак на исходы другого испытания и наоборот, то называть такие испытания независимыми.

События, связанные с независимыми испытаниями будем называть независимыми друг от друга событиями. Пусть по очереди проводятся два испытания. Если исходы первого испытания влияют на исходы второго испытания, то будем называть второе испытание зависимым от первого. Второй способ. Просто достают из урны два шара подряд один за другим. Первый шар не возвращается обратно в урну, и количество шаров в урне перед извлечением второго шара уменьшается. Испытания такого типа называют урновыми испытаниями по схеме без возвращения. Зависимые и независимые испытания и случайные события