Системы счисления

Система счисления 1.Это способ изображения чисел и соответствующие ему правила действия над числами. 2.Это способ записи чисел с помощью заданного набора цифр и знаков.

Все системы счисления ПозиционныеНепозиционные

Непозиционная С.С. В таких с.с. от положения знака в записи числа не зависит величина, которую он обозначает Пользовались египтяне, древние греки, римляне и другие народы.

I=1 V=5 X=10 L=50 C=100 D=500 M=1000

Непозиционная С.С. CCXXXII Складывается из двух сотен, трех десятков и двух единиц и равно 232.

Правила записи: Цифры записываются слева направо в порядке убывания и их значения складываются. Если слева записана меньшая цифра, а справа большая, то их значения вычитаются. VI=5+1=6 IV=5-1=4

Были более или менее пригодны для выполнения сложения и вычитания, но непригодны для выполнения умножения и деления

Позиционная С.С. Величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции. Основание позиционной С.С. – количество используемых цифр А к р к +А к-1 р к-1 + … +А 1 р + А 0 р 0 р 0 =1 Где р – основание с.с. а – цифры с.с к – число целых разрядов

* * * * = ,9506 3* * * * *10 -4 = ,9+0,05+0,0006=384,9506

Преимущества десятичной системы счисления не математические, а зоологические. Если бы у нас на руках было не десять пальцев, а восемь, то человечество пользовалось восьмиричной системой. Н.Н. Лузин математик

Для записи чисел в позиционной системе с основанием n нужно иметь алфавит из n цифр. Обычно для этого при n10 к десяти арабским цифрам добавляют буквы.

Вот примеры алфавитов нескольких систем: ОснованиеСистемаАлфавит n=2Двоичная01 n=3Троичная012 n=8Восьмиричная n=16шестнадцатирич ная А ВСDЕF

Основание системы, к которой относится число обозначается подстрочным индексом: , , 3В8Е 16 Позиционная С.С.

Перевод чисел из одной с.с. в другую =1 *3 2 +1*3 1 +2*3 0 =9+3+2= =1*2 5 +0*2 4 +1*2 3 +1*2 2 +0*2 1 +1* 2 0 Обратный перевод: = =1*2 2 +1*2 2 +1*2 1 +1=1111 2

Как перевести = ? 2

Сложение в двоичной с.с. В основе сложения чисел в двоичной системе счисления лежит таблица сложения одноразрядных двоичных чисел. 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=10

Сложение в двоичной с.с. Важно обратить внимание на то, что при сложении двух единиц производится перенос в старший разряд. В качестве примера сложим в столбик двоичные числа и 11 2 :

Проверим правильность вычислений =1*2 2 +1*2 1 +0*2 0 = =1*2 1 +1*2 0 = =1*2 3 +0*2 2 +0*2 1 +1*2 0 = =9 10 Сложение выполнено верно.

Вычитание в двоичной с.с. В основе вычитания двоичных чисел лежит таблица вычитания одноразрядных двоичных чисел. При вычитании из меньшего числа (0) большего (1) производится заем из старшего разряда 0-0=0 0-1=11 1-0=1 1-1=0

Вычитание в двоичной с.с. Для примера производим вычитание двоичных чисел и 11 2 :

Умножение чисел в двоичной с.с. В основе умножения лежит таблица умножения одноразрядных двоичных чисел. 0*0=0 0*1=0 1*0=0 1*1=1

Умножение чисел в двоичной с.с. Рассмотрим пример умножения двоичных чисел и 11 2 : *

Деление чисел в двоичной с.с. Выполняется подобно операции деления в десятичной с.с. Разделим двоичное число и 11 2 :

Задания 1.Чему равны в десятичной с.с. следующие числа:XI, IX, LX, CLX, MDCXLVIII. 2.Запишите римскими цифрами числа: 13; 99; 666; 444; 1692

Задания 3. Переведите числа из одной системы счисления в другую: =? =? 10 23С 16 =? =? =? =? =? =? 10 2А,4 16 =? 10

Ответы: = = С 16 = = = = = = А4 16 =676 10

Использование приложения «Калькулятор».

Переведите числа из десятичной с.с в двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную с.с: 856, 664, 5012, 6435, 78, 214, 89, 998, 653, 111, 523, 65, 7000, 2307, 325, 12, 524, 76, 121, 56.