ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ НА МОНОТОННОСТЬ.

Функцию y = f(x) называют возрастающей на множестве X D(f), если для любых двух точек x 1 и x 2 множества X, таких, что x 1 < x 2 выполняется неравенство f (x 1 ) < f (x 2 ). Функцию y = f(x) называют убывающей на множестве X D(f), если для любых двух точек x 1 и x 2 множества X, таких, что x 1 f (x 2 ). Термины «возрастающая функция» и «убывающая функция» объединяют общим названием монотонная функция. ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВОЗРАСТАЮЩЕЙ И УБЫВАЮЩЕЙ ФУНКЦИЙ

1.Найти область определения функции y = f(x): множество X D(f). 2.Выбрать произвольные значения аргумента x 1 и x 2 множества X такие, что x 1 < x 2. 3.Найти значения функции f (x 1 ) и f (x 2 ). 4.Если из x 1 f (x 2 ), то заданная функция убывает на D(f). АЛГОРИТМ ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ НА МОНОТОННОСТЬ

1.Область определения функции y = 2 – 5x: D(y)= (- ; + ). 2.Выберем произвольные значения аргумента x 1 и x 2 из D(y) такие, что x 1 < x 2. 3.Найдем значения функции f (x 1 )= 2 – 5 x 1 и f (x 2 )= 2 – 5 x 2. 4.По свойствам числовых неравенств имеем: – x 1 > – x 2 ; 2 – 5 x 1 > 2 – 5 x 2. 5.Итак, из x 1 f (x 2 ), заданная функция убывает на D(y). ПРИМЕРЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИЙ НА МОНОТОННОСТЬ y = 2 - 5x

1.Область определения функции y = x : D(y)= (- ; + ). 2.Выберем произвольные значения аргумента x 1 и x 2 из D(y) такие, что x 1 < x 2. 3.Найдем значения функции f (x 1 ) = x и f (x 2 ) = x По свойствам числовых неравенств имеем: x 1 3 < x 2 3 ; x < x Итак, из x 1 < x 2 следует f (x 1 ) < f (x 2 ), заданная функция возрастает на D(y). ИССЛЕДОВАТЬ НА МОНОТОННОСТЬ ФУНКЦИЮ Y = X 3 +4

Решение. Область определения функции y = x 3 + 2x 2 : D(y)= (- ; + ). Выберем произвольные значения аргумента x 1 и x 2 из D(y) такие, что x 1 < x 2. Найдем значения функции f (x 1 ) = x x 1 2 и f (x 2 ) = x x 2 2. По свойствам числовых неравенств имеем: x 1 3 < x 2 3 ; x x 1 2 < x x 2 2. Итак, из x 1 < x 2 следует f (x 1 ) < f (x 2 ), заданная функция возрастает на D(y). Y = X 3 +2X 2

Решение. 1.Область определения функции y = – 3x 3 – x : D(y)= (- ; + ). 2.Выберем произвольные значения аргумента x 1 и x 2 из D(y) такие, что x 1 < x 2. 3.Вычислим значения функции f (x 1 )= – 3x 1 3 – x 1 и f (x 2 )= – 3x 2 3 – x 2. 4.По свойствам числовых неравенств имеем: – x 1 3 > – x 2 3 ; – x 1 (3x ) > – x 2 (3x ); – 3x 1 3 – x 1 > – 3x 2 3 – x 2. 5.Итак, из x 1 f (x 2 ), заданная функция убывает на D(y). Y = - 3X 3 - X

Решение. 1.Область определения функции y = x 0,5 +x 5 : D(y)= [ 0 ; + ). 2.Выберем произвольные значения аргумента x 1 и x 2 из D(y) такие, что x 1 < x 2. 3.Найдем значения функции f (x 1 ) = x 1 0,5 +x 1 5 и f (x 2 ) = x 2 0,5 +x По свойствам числовых неравенств имеем: x 1 0,5 < x 2 0,5 ; x 1 5 < x 2 5 ; x 1 0,5 + x 1 5 < x 2 0,5 + x Итак, из x 1 < x 2 следует f (x 1 ) < f (x 2 ), то заданная функция возрастает на D(y). Y = X 0,5 +X 5

Решение. 1.Область определения функции y = – x 3 – x 0,5 : D(y)= [ 0; + ). 2.Выберем произвольные значения аргумента x 1 и x 2 из D(y) такие, что x 1 < x 2. 3.Вычислим значения функции f (x 1 )= – x 1 3 – x 1 0,5 и f (x 2 )= – x 2 3 – x 2 0,5. 4.По свойствам числовых неравенств имеем: – x 1 3 > – x 2 3 ; – x 1 0,5 > – x 2 0,5 ; –x 1 0,5 (x 1 2,5 + 1) > – x 2 (x 2 2,5 +1); – x 1 3 – x 1 0,5 > – x 2 3 – x 2 0,5. 5.Итак, из x 1 f (x 2 ), заданная функция убывает на D(y). Y = - X 3 - X 0,5