Выполнила: ученица 7А класса ученица 7А класса Трушина Ангелина. Трушина Ангелина.Руководитель: учитель математики Калугина О. О.

Почему я выбрала эту тему творческой работы? При подготовке к математическим олимпиадам и конкурсам я обратила внимание на уравнения с модулем, которые мы пока не решали в школьном курсе математики. Меня они очень заинтересовали, понравились разнообразные методы при решении уравнений и задач с модулем. Цель работы: более глубокого рассмотреть тему «Решение уравнений с модулем»; научиться использованию различных методов при решении задач с модулем.

Модуль (абсолютная величина) действительного числа а, т.е. |а| - само это число, если оно неотрицательное, и это число, взятое с противоположным знаком, если оно отрицательное:

Каждому действительному числу соответствует точка числовой оси, для которой это число является координатой. Абсолютная величина этого числа – это расстояние соответствующей точки оси до начала координат. Например: х = а и х = – а удалены от начала координат на |а|. Геометрически, абсолютная величина действительного числа и есть расстояние от точки, изображающей это число на числовой оси, до начала координат.

При решении уравнений, содержащих знак абсолютной величины, мы будем основываться на определении модуля числа и свойствах абсолютной величины числа. Существует несколько способов решения уравнений с модулем, рассмотрим каждый из них. Уравнением с модулем называют равенство, содержащее переменную под знаком модуля. Корнями уравнения называются значения переменной, при которых уравнение обращается в верное равенство. Решить уравнение – значит, найти все его корни или доказать, что корней нет..

Решим уравнение |х-5|=4. Исходя из определения модуля, произведем следующие рассуждения. Если выражение, стоящее под знаком модуля неотрицательно, то есть х-50, то уравнение примет вид х-5=4. Если значение выражения под знаком модуля отрицательно, то по определению оно будет равно – (х-5)=4 или х-5= -4. Решая полученные уравнения, находим: х1=9, х2=1. Ответ: 9; 1.

Метод интервалов – это метод разбиения числовой прямой на промежутки, в которых после определения модулю можно будет снять его знак. Для каждого из промежутков необходимо решить уравнение и сделать вывод относительно получившихся корней. Корни, удовлетворяющие промежуткам, и дадут окончательный ответ.

Решим уравнение |х+3|+|х-1|=6. Найдем корни (нули) каждого выражения, содержащегося под знаком модуля: х+3=0, х =-3; х-1=0, х=1. Эти значения х разбивают числовую прямую на три промежутка: (-;-3), [-3;1], (1;+). Решим уравнение отдельно в каждом из промежутков. В первом промежутке (х < -3), получим уравнение: -х-3-х+1=6. Откуда х = -4. Число -4 является решением данного уравнения, так как оно принадлежит рассматриваемому промежутку. Второй промежуток (-3 х < 1). Рассуждая аналогично, получим уравнение: х+1- х+1=6, откуда получаем неверное числовое равенство, то есть в рассматриваемом промежутке уравнение корней не имеет. В последнем промежутке (х 1) уравнение записывается так: х+3+х-1=6. Откуда х=2. Это значение удовлет- воряет неравенству х 1. Ответ: -4; 2.

Суть данного метода заключается в использовании графиков функций для нахождения корней уравнения. Этот метод реже других применяют для решения уравнений, содержащих модуль, так как, во-первых, он занимает достаточно много времени и не всегда рационален, а, во-вторых, результаты, полученные при построении графиков, не всегда являются точными.

Здесь будет график Построим графики функций у=|х+1| и у=2. Для построения графика у=|х+1|, построим график функции у=х+1, а затем отразим часть прямой, лежащую ниже оси ОХ. Абсциссы точек пересечения графиков и есть корни уравнения: х1=1, х2= -3. Ответ: 1; -3.

Решим уравнение |х2-8х+5|=|х2-5|. Учитывая соотношение (1), получим: х2-8х+5= х2-5 или х2-8х+5= -х2+5 х=1,25 х=0 или х=4. Таким образом, корни исходного уравнения: х1=1,25; х2=0; х3=4. Ответ: 1,25; 0; 4.

Геометрический смысл модуля разности величин – это расстояние между ними. Например, геометрический смысл выражения |х-а| - длина отрезка координатной оси, соединяющей точки с абсциссами а и х.

Решим уравнение |х-2|+|х-3|=1. Исходя из геометрической интерпретации модуля, левая часть уравнения представляет собой сумму расстояний от некоторой точки с абсциссой х до двух фиксированных точек с абсциссами 2 и 3. Тогда очевидно, что все точки с абсциссами, принадлежащими отрезку [2;3] обладают требуемым свойством, а точки, расположенные вне этого отрезка – нет. Отсюда, множеством решений уравнения является отрезок [2;3]. Ответ: [2;3].

СпособыДостоинстваНедостатки Метод последовательног о раскрытия модулей. 1) можно выиграть время в решении задачи при опр. условиях 2). Последовательность действий, направленных на поиск ответа, позволяет контролировать и проверять промежуточные результаты. Необходимость раскрытия модуля, что для некоторых заданий приводит к потере темпа в получении ответа. Метод интервалов.Сопровождается относительно небольшим объемом работы. В силу необходимости нахождения концов интервалов могут серьезные затруднения при определении корней. Графический метод.Данный способ имеет очень широкое применение в других темах школьного курса математики. Ответ определяется приблизительно. Метод решения при помощи зависимостей между числами, модулями, квадратами. В некоторых случаях применение данного способа позволяет решать уравнения определенного вида на более раннем этапе. В некоторых случаях выбор данного способа приводит к громоздкому решению, а иногда решение сводится к очень сложному уравнению. Геометрическая интерпретация модуля. Перевод алгебраической задачи на геометрический язык часто позволяет избежать громоздких решений. Применение данного способа ограничивается уравнениями определенного вида.

а) последовательное раскрытие модуля: Если (х-1)(х-3) 0, то Если (х-1)(х-3) < 0, то х2-4х+3=х-3, х2- 4х+3= -х+3, х2-5х+6=0, х2-3х=0, х1=3, х2=2. х1=0, х2=3. 2 – не удовлетворяет условию. 0, 3 - не удовлетворяет условию. Ответ: 3. б) метод интервалов: найдем концы интервалов, решив уравнение (х-1)(х-3)=0, откуда х1=1, х2=3. I : (х-1)(х-3)=х-3, х1=2, х2=3. 2 (-; 1), 3 (-; 1). II : -(х-1)(х-3)=х-3, х1=0, х2=3. 0 [1; 3), 3 [1; 3). III : (х-1)(х-3)=х-3, х1=0, х2=3. 0 [3; +), 3 [3; +). Ответ: 3.

Построим у=|х2-4х+3|. Графиком функции у=х2- 4х+3 является парабола, ветви направлены вверх. Вершина параболы (2; -1). Строим график и отобра- жаем часть параболы, которая лежит ниже оси ОХ в верхнюю полуплос- кость. В этой же системе координат строим график у=х-3. Графики пересек- лись в точке с абсциссой 3. Ответ: 3. Здесь будет график

Проанализировав представленные способы решения уравнений, содержащих модуль, можно сделать вывод, что ни один из них не является универсальным и для получения наилучших результатов необходимо овладеть возможно большим количеством методов решения, оставляя право выбора решения за собой.

1. М.К. Потапов и др. Конкурсные задачи по математике М Я.К. Фельдман Готовимся к экзаменам С.- Петербург А.Г. Цыпкин Справочник по математике для средней школы. М.: Наука, Д.Т. Письменный Математика для старшеклассников. М.; А.Г. Мерзляк Алгебраический тренажер. Киев: В.В. Казак, А.В. Козак Тесты по математике. Централизованное тестирование. Москва: 2003