Арифметическая прогрессия 1.Определение арифметической прогрессии. 2.Формула n-го члена. 3.Основное свойство. 4.Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии.

Определение арифметической прогрессии. В жизни часто бывает так, что величины изменяются с течением времени на одно и то же их значение. Когда поезд едет со скоростью 80 км/ч, он за каждый час увеличивает пройденный путь на одно и то же количество километров. Верблюд, идущий по пустыне, ежедневно уменьшает свои запасы воды в горбах на одну и ту же величину.

Человек с каждым годом жизни увеличивает свой возраст на одно и то же время. А так же, уменьшает за каждый прожитый год на одну и ту же величину время, которое ему суждено прожить на этом свете. И даже толстяк, безуспешно применяющий модные диеты, каждые сутки изменяет свой вес на одну и ту же величину - на нуль килограммов. Всё это - примеры числовых последовательностей - примеры арифметической прогрессии.

Определение Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.

То есть, последовательность является арифметической прогрессией, если выполняется условие: a n+1 = a n +d, где d - некоторое число.

Из определения арифметической прогрессии следует, что разность между любым ее членом, начиная со второго, и предыдущим членом равна, т.е. при любом натуральном n верно равенство: d = a n+1 – a n. Число d называется разностью арифметической прогрессии. Чтобы задать арифметическую прогрессию, достаточно узнать ее первый член и разность.

Рассмотрим примеры 1. Если a 1 =1 и d=1, то получим арифметическую прогрессию 1; 2; 3; 4; 5;…, члены которой – последовательные натуральны числа. 2. Если a 1 =1 и d=2, то получим арифметическую прогрессию 1; 3; 5; 7; 9;…, которая является последовательностью положительных нечетных чисел.

3. Если a 1 =-2 и d=-2, то получим арифметическую прогрессию -2; -4; -6; -8; -10;…, которая является последовательностью отрицательных четных чисел. 4. Если a 1 =7 и d=0, то имеем арифметическую прогрессию 7; 7; 7; 7; 7;…, все члены которой равны между собой.

На заметку! Зная первый член и разность арифметической прогрессии, можно найти любой ее член, вычисляя последовательно второй, третий, четвертый и т.д. члены. Однако для нахождения члена прогрессии с большим номером такой способ неудобен. Постараемся отыскать способ, требующий меньшей вычислительной работы.

Вывод формулы n – го члена: Исходя из определения арифметической прогрессии: a 2 =a 1 +d, a 3 =a 2 +d=(a 1 +d)+d=a 1 +2d, a 4 =a 3 +d=(a 1 +2d)+d=a 1 +3d, a 5 =a 4 +d=(a 1 +3d)+d=a 1 +4d. Точно так же находим, что a 6 = a 1 +5d, и вообще, чтобы найти a n, нужно к a 1 прибавить (n- 1 )d, т.е. a n =a 1 +(n- 1 )d. Получили формулу n-го члена арифметической прогрессии.

Рассмотрим примеры решения задач с использованием формулы n-го члена арифметической прогрессии Дано: (a n ) - арифметическая прогрессия a 1 =0,62, d=0,24 Найти:a 50 Решение: a n =a 1 +(n- 1 )d. a 50 =0,62+0,24 ·(50-1)=12,38. Ответ: a 50 = 12,38.

Задача, в которой надо определить, является ли некоторое число членом арифметической прогрессии. 2.Дано: 23; 17,2; 11,4; 5,6;… - арифметическая прогрессия, a n = -122 Найти: n - ? Решение: a 1 =23, d=a 2 -a 1 =17,2-23=-5,8. a n =a 1 +(n-1)d = ,8·(n-1) = 28,8-5,8n, так как a n = -122 решаем уравнение 28,8-5,8n = -122, 5,8n=150,8, n=26 N Ответ: число -122 является 26-м членом данной арифметической прогрессии.

Рассмотрим важное свойство арифметической прогрессии. d = a n+1 – a n, d = a n – a n-1 a n – a n-1 = a n+1 – a n 2a n = a n-1 + a n+1, ( a n-1 + a n+1 ) a n = 2

Основное свойство: Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов.

Обратное утверждение: Если в последовательности каждый член, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов, то эта последовательность является арифметической прогрессией.

Формулу n-го члена арифметической прогрессии a n =a 1 +(n-1)d можно записать иначе: a n =dn+(a 1 -d). Отсюда ясно, что любая арифметическая прогрессия может быть задана формулой вида a n =kn+b, где k и b - некоторые числа.

Верно и обратное: последовательность (a n ), заданная формулой вида a n =kn+b, где k и b - некоторые числа, является арифметической прогрессией.

d = a n+ 1 – a n. a n =a 1 +(n- 1 )d. Ѕ = а 1 + a n 2 n