Домарецкая Ксения и Пирко Кристина МОУ « СОШ » с. Мордино, 8 класс, Республика Коми, Корткеросский район, С. Мордино. Руководитель: Канева Д.Н. Авторы:

Чи́сла Фибона́ччи элементы числовой последовательности 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, , , , , , и т. д. в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Название по имени средневекового математика Леонардо Пизанского (или Фибоначчи) Чи́сла Фибона́ччи элементы числовой последовательности 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, , , , , , и т. д. в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Название по имени средневекового математика Леонардо Пизанского (или Фибоначчи)

Леонардо Пизано Фибоначчи О жизни Фибоначчи известно немного. Неизвестна даже точная дата его рождения. Предполагается, что Фибоначчи родился предположительно в 1170 г. Его отец был купцом и государственным чиновником. Ему удалось «устроить" своего сына, будущего математика Фибоначчи, в одно из арабских учебных заведений, где он и смог получить неплохое для того времени математическое образование. материал подготовлен для сайта matematika.ucoz.com

До эпохи Возрождения было еще далеко, однако история даровала Италии краткий промежуток времени, который вполне можно было назвать репетицией надвигающейся эпохи Ренессанса. Этой репетицией руководил Фридрих II, император Священной Римской империи. Фридрих II был внутренне глубоко далек от европейского христианского рыцарства. Рыцарские турниры Фридрих II совсем не признавал. Вместо этого он культивировал математические соревнования, на которых противники обменивались не ударами, а задачами. На таких турнирах и заблистал талант Леонардо Фибоначчи материал подготовлен для сайта matematika.ucoz.com

Леонардо Пизанский (Leonardo Pisano), Фибоначчи (Fibonacci) (родился около 1170 умер после 1228), итальянский математик. Путешествуя по Востоку, познакомился с достижениями арабской математики; способствовал передаче их на Запад. Основные работы «Liber Abaci» (1202) трактат об арифметике (индийские цифры, Фибоначчи числа) и алгебре (до квадратных уравнений включительно), «Practica Geometriae» (1220), которые являются первыми произведениями, содержащими задачи на приложение алгебры к геометрии. Леонардо Пизанский (Leonardo Pisano), Фибоначчи (Fibonacci) (родился около 1170 умер после 1228), итальянский математик. Путешествуя по Востоку, познакомился с достижениями арабской математики; способствовал передаче их на Запад. Основные работы «Liber Abaci» (1202) трактат об арифметике (индийские цифры, Фибоначчи числа) и алгебре (до квадратных уравнений включительно), «Practica Geometriae» (1220), которые являются первыми произведениями, содержащими задачи на приложение алгебры к геометрии.

Более формально, последовательность чисел Фибоначчи задается рекуррентным соотношением: Более формально, последовательность чисел Фибоначчи задается рекуррентным соотношением: Иногда числа Фибоначчи рассматривают и для неположительных номеров n как двусторонне бесконечную последовательность, удовлетворяющую основному соотношению. Члены с такими номерами легко получить с помощью эквивалентной формулы «назад»: F n = F n + 2 F n + 1 : Иногда числа Фибоначчи рассматривают и для неположительных номеров n как двусторонне бесконечную последовательность, удовлетворяющую основному соотношению. Члены с такими номерами легко получить с помощью эквивалентной формулы «назад»: F n = F n + 2 F n + 1 :

Много интересного в арифметике чисел Фибоначчи. Каждое третье число ЧЕТНО. Каждое третье число ЧЕТНО. Каждое четвертое делится на ТРИ. Каждое четвертое делится на ТРИ. Каждое пятнадцатое оканчивается НУЛЕМ и т.д. Каждое пятнадцатое оканчивается НУЛЕМ и т.д.

Сложение чисел Фибоначчи. Демонстрируется мгновенное сложение любых десяти последовательных чисел Фибоначчи. Показывающий просит кого-нибудь записать друг под другом два любых числа. Затем сложить эти числа. Найденное таким образом третье число складывается со вторым, и получается четвертое число. Этот процесс повторяется до тех пор, пока в вертикальном столбце не окажется 10 чисел. Например:

Сложение чисел Фибоначчи. Во время записывания чисел показывающий стоит, повернувшись спиной к зрителям. Когда все числа будут записан, он поворачивается, проводит под черту и, не задумываясь, подписывает сумму этих чисел. Чтобы получить эту сумму, ему надо четвертое число снизу умножить на 11. Во время записывания чисел показывающий стоит, повернувшись спиной к зрителям. Когда все числа будут записан, он поворачивается, проводит под черту и, не задумываясь, подписывает сумму этих чисел. Чтобы получить эту сумму, ему надо четвертое число снизу умножить на 11. Например: Например:

Сложение чисел Фибоначчи. Почему это так? Почему это так? а а в в а + в а + в а + 2в а + 2в 2а +3в 2а +3в 3а + 5в 3а + 5в 5а + 8в 5а + 8в 8а + 13в 8а + 13в 13а + 21в 13а + 21в 21а + 34в 21а + 34в а + 88в (55а + 88в ): 11 = 5а + 8в, четвертое снизу слагаемое. 55а + 88в (55а + 88в ): 11 = 5а + 8в, четвертое снизу слагаемое.

Треугольник Паскаля. На рисунке изображено несколько первых строк числового треугольника, образованного по следующему правилу: по краям каждой строки стоят единицы, а каждое из остальных чисел равно сумме двух стоящих над ним чисел предыдущей строки. По этому правилу легко выписать одну за другой новые строки этого треугольника. На рисунке изображено несколько первых строк числового треугольника, образованного по следующему правилу: по краям каждой строки стоят единицы, а каждое из остальных чисел равно сумме двух стоящих над ним чисел предыдущей строки. По этому правилу легко выписать одну за другой новые строки этого треугольника. Именно в такой форме он приведен в «Трактате об арифметическом треугольнике» французского математика Б.Паскаля ( ), опубликованном в 1665 г. уже после смерти автора. Именно в такой форме он приведен в «Трактате об арифметическом треугольнике» французского математика Б.Паскаля ( ), опубликованном в 1665 г. уже после смерти автора.

Треугольник Паскаля. Суммы чисел по «восходящим» (зеленым) диагоналям равны последовательным числам Фибоначчи: Суммы чисел по «восходящим» (зеленым) диагоналям равны последовательным числам Фибоначчи: и т. д и т. д.

Леонардо Фибоначчи любил гулять по лесу и размышлять. Например, о том, с какой геометрической прогрессией рождаются кролики. Неизвестно, долго ли он над этим думал, но именно размышляя о кроликах, придумал числовой, р я д, каждое последующее число которого являлось суммой двух предыдущих: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597 и так до бесконечности. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597 Числа Фибоначчи материал подготовлен для сайта matematika.ucoz.com

Весь материал « КНИГИ ОБ АБАКЕ » поясняется на задачках. ВОТ ОДНА ИЗ НИХ. Некто поместил пару кроликов в загон. Через месяц пара кроликов производит на свет другую, а рождают кролики со второго месяца после своего рождения. Некто поместил пару кроликов в загон. Через месяц пара кроликов производит на свет другую, а рождают кролики со второго месяца после своего рождения. Допустим, что в январе тебе подарили пару новорожденных кроликов. Через 2 месяца они рождают новую пару кроликов. Каждая новая пара через 2 месяца после своего рождения рождает новую пару. Старая пара кроликов рождает новую пару уже каждый месяц. Сколько пар кроликов у тебя будет в декабре? Допустим, что в январе тебе подарили пару новорожденных кроликов. Через 2 месяца они рождают новую пару кроликов. Каждая новая пара через 2 месяца после своего рождения рождает новую пару. Старая пара кроликов рождает новую пару уже каждый месяц. Сколько пар кроликов у тебя будет в декабре?

Задача о кроликах в виде таблицы.

Задача о кроликах (2) Количество кроликов, имеющихся у тебя в январе, феврале и т.д., декабре образуют следующий ряд чисел: Количество кроликов, имеющихся у тебя в январе, феврале и т.д., декабре образуют следующий ряд чисел: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144… 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144… Эти числа обладают следующим свойством: каждое из них, начиная с третьего, равно сумме двух предыдущих. Эти числа обладают следующим свойством: каждое из них, начиная с третьего, равно сумме двух предыдущих. Числа, полученные таким образом, называются числами Фибоначчи. Числа, полученные таким образом, называются числами Фибоначчи. В декабре у тебя будет 233 кроликов. В декабре у тебя будет 233 кроликов.

Золотое сечение. Золотое сечение часто встречается в геометрии. Например: квадрат вписан в полукруг. Точка С делит золотым сечением отрезок АВ.АВ/СВ= 1,6. Золотое сечение часто встречается в геометрии. Например: квадрат вписан в полукруг. Точка С делит золотым сечением отрезок АВ.АВ/СВ= 1,6. Отношения двух соседних чисел Фибоначчи примерно равно золотому сечению. Отношения двух соседних чисел Фибоначчи примерно равно золотому сечению. 8/5 = 1,6 ; 13/8 = 1,625; 21/ 13 = 1,6153; 34/21 = 1,619; 55/34 = 1,617 и т.д. 8/5 = 1,6 ; 13/8 = 1,625; 21/ 13 = 1,6153; 34/21 = 1,619; 55/34 = 1,617 и т.д. А СВ

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597 Числа Фибоначчи Эта последовательность, получившая название ряда Фибоначчи, обладает удивительными свойствами. Отношение двух соседних чисел приближенно равно числу «фи», и чем дальше пара чисел находится от начала последовательности, тем точнее это приближение. Ф=1.618 материал подготовлен для сайта matematika.ucoz.com

Числа Фибоначчи в природе и в жизни человека. Природа дает нам многочисленные примеры расположения однородных предметов, описываемых числами Фибоначчи. Природа дает нам многочисленные примеры расположения однородных предметов, описываемых числами Фибоначчи. Если вы любите отыскивать числовые закономерности в живой природе, то заметите, что эти числа встречаются в различных спиральных формах, которыми так богат мир растений; черенки листьев примыкают к стеблю по спирали, которая проходит между двумя соседними листьями: Если вы любите отыскивать числовые закономерности в живой природе, то заметите, что эти числа встречаются в различных спиральных формах, которыми так богат мир растений; черенки листьев примыкают к стеблю по спирали, которая проходит между двумя соседними листьями: 1/3 полного оборота – у орешника, 1/3 полного оборота – у орешника, 2/5 - у дуба, 2/5 - у дуба, 3/8 - у тополя и у груши, 3/8 - у тополя и у груши, 5/13 - у ивы; 5/13 - у ивы; чешуйки на еловой шишке, ячейки на ананасе и семена подсолнечника расположены спиралями, причем количества спиралей каждого направления так же, как правило, числа Фибоначчи. чешуйки на еловой шишке, ячейки на ананасе и семена подсолнечника расположены спиралями, причем количества спиралей каждого направления так же, как правило, числа Фибоначчи. Взяв молодую сосновую веточку, легко заметить, что хвоинки образуют две спирали ( справа – влево) и 3 спирали ( слева – вправо ). Взяв молодую сосновую веточку, легко заметить, что хвоинки образуют две спирали ( справа – влево) и 3 спирали ( слева – вправо ).

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597 Числа Фибоначчи Стоило Фибоначчи вывести эту закономерность, как ее проявления стали проявляться повсюду. Так как Фибоначчи любил гулять, первая закономерность бросилась ему в глаза на лесной поляне. материал подготовлен для сайта matematika.ucoz.com

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597 Числа Фибоначчи на лесной поляне. Понаблюдав, как прорастает из земли тысячелистник, ученый, к своему удивлению, обнаружил, что сначала появляется один листик, потом два, чуть позже – три, затем пять… восемь… тринадцать. И никогда по-другому! Но тогда Фибоначчи даже не предполагал, насколько близко ему удалось приблизиться к разгадке одной из величайших тайн мироздания. материал подготовлен для сайта matematika.ucoz.com

Раковина улитки, цветок подсолнуха, рога животных, сосновые шишки и Галактика. Саморазвитие жизни происходит по спирали, которая стала символом эволюции. спиральные структуры Все природные спирали – это спирали Фибоначчи

В ПРИРОДЕ В ПРИРОДЕ Расстояния между листьями (или ветками) на стволе растения относятся примерно как числа Фибоначчи. Расстояния между листьями (или ветками) на стволе растения относятся примерно как числа Фибоначчи. В КУЛЬТУРЕ Светящиеся числа Фибоначчи от 1 до 55 прикреплены на дымовой трубе Turku Energia в Турку Светящиеся числа Фибоначчи от 1 до 55 прикреплены на дымовой трубе Turku Energia в Турку В ИНТЕРНОМ И ЛАНДШАФТНОМ ДИЗАЙНЕ Ряд Фибоначчи используется для вычисления гармоничных пропорций, например, соотношение высоты помещения к высоте декорирования стен различными материалами или соотношение высот нескольких деревьев в группе В ЛИТЕРАТУРЕ Американский писатель-фантаст Дэн Браун в книге «Код да Винчи» описал последовательность Фибоначчи как лжешифр.

Человек и числа Фибоначчи. Числа Фибоначчи делят нашу жизнь на этапы по количеству прожитых лет: Числа Фибоначчи делят нашу жизнь на этапы по количеству прожитых лет: 0 начало отсчета ребенок родился. У него еще отсутствуют не только психомоторика, мышление, чувства, воображение, но и оперативный энергопотенциал. Он начало новой жизни, новой гармонии; 0 начало отсчета ребенок родился. У него еще отсутствуют не только психомоторика, мышление, чувства, воображение, но и оперативный энергопотенциал. Он начало новой жизни, новой гармонии; 1 ребенок овладел ходьбой и осваивает ближайшее окружение; 1 ребенок овладел ходьбой и осваивает ближайшее окружение; 2 понимает речь и действует, пользуясь словесными указаниями; 2 понимает речь и действует, пользуясь словесными указаниями; 3 действует посредством слова, задает вопросы; 3 действует посредством слова, задает вопросы; 5 «возраст грации» гармония психомоторики, памяти, воображения и чувств, которые уже позволяют ребенку охватить мир во всей его целостности; 5 «возраст грации» гармония психомоторики, памяти, воображения и чувств, которые уже позволяют ребенку охватить мир во всей его целостности;

Человек. 8 на передний план выходят чувства. Им служит воображение, а мышление силами своей критичности направлено на поддержку внутренней и внешней гармонии жизни; 8 на передний план выходят чувства. Им служит воображение, а мышление силами своей критичности направлено на поддержку внутренней и внешней гармонии жизни; 13 начинает работать механизм таланта, направленный на превращение приобретенного в процессе наследования материала, развивая свой собственный талант; 13 начинает работать механизм таланта, направленный на превращение приобретенного в процессе наследования материала, развивая свой собственный талант; 21 механизм творчества приблизился к состоянию гармонии и делаются попытки выполнять талантливую работу; 21 механизм творчества приблизился к состоянию гармонии и делаются попытки выполнять талантливую работу; 34 гармония мышления, чувств, воображения и психомоторики: рождается способность к гениальной работе; 34 гармония мышления, чувств, воображения и психомоторики: рождается способность к гениальной работе; 55 в этом возрасте, при условии сохраненной гармонии души и тела, человек готов стать творцом. И так далее в этом возрасте, при условии сохраненной гармонии души и тела, человек готов стать творцом. И так далее...

Кладезь пропорций фи – человек. Каждый зуб, губы и нос, глаза, пальцы рук и ног, основные чакры – все соотносится друг с другом согласно пропорциям Фибоначчи.

«В геометрии существует два сокровища: первое – теорема Пифагора, второе – золотое сечение. Первое можно сравнить с мерой золота, второе – с драгоценным камнем». Кеплер «Будущие ученые во все времена "будут отдавать свой долг Леонардо Пизанскому, как одному из величайших интеллектуальных первопроходцев мира".

Литература. «УЧИТЕЛЮ МАТЕМАТИКИ» «УЧИТЕЛЮ МАТЕМАТИКИ» Издательство «ПРОЛОГ»Сыктывкар Издательство «ПРОЛОГ»Сыктывкар «ЭНЦИКЛОПЕДИЧЕСКИЙ СЛОВАРЬ ЮНОГО МАТЕМАТИКА». «ЭНЦИКЛОПЕДИЧЕСКИЙ СЛОВАРЬ ЮНОГО МАТЕМАТИКА». Москва «Педагогика» Москва «Педагогика» г г.