Классификация сигналов Под сигналом обычно понимают величину, отражающую состояние физической системы. Поэтому естественно рассматривать сигналы как функции, заданные в физических координатах. Примером могут служить одномерные сигналы, заданные как функции времени двумерные сигналы заданные на плоскости, и т. д. В дальнейшем мы будем рассматривать в основном сигналы как действительные функции времени

Аналоговые или континуальные сигналы описываются непрерывными и кусочно-непрерывными функциями причем как сама функция, так и ее аргумент могут принимать любые значения в пределах некоторого интервала (рис. 1). Дискретные сигналы образуются путём умножения аналогового сигнала на так называемую функцию дискретизации представляющую собой периодическую последовательность коротких импульсов, следующих с шагом дискретизации (рис. 1.а). В идеальном случае в качестве функции дискретизации используется периодическая последовательность дельта-функций (рис. 1.б).

Рис.1.

Дискретные сигналы x д (t) образуются путём умножения аналогового сигнала на так называемую функцию дискретизации y(t) представляющую собой периодическую последовательность коротки импульсов, следующих с шагом дискретизации (рис. 1.а). В идеальном случае в качестве функции дискретизации используется периодическая последовательность дельта-функций (рис. 1.б). Цифровой сигнал х ц (t) описывается квантованной решетчатой функцией (рис. 2), т. е. решетчатой функцией, принимающей лишь ря дискретных уровней - уровней квантования где – шаг квантования по уровню, а k – номер интервала квантования, k=0,1,…M-1, M=2 n n– целое положительное число. Цифровой сигнал представляется последовательностями чисел, имеющих ограниченное количество разрядов.

Рис.2.

Финитный сигнал характеризуется тем, что отличен от нуля лишь на конечном интервале. Очень важным является класс сигналов с финитным спектром. У таких сигналов спектральная функция (преобразование Фурье) обращается в нуль вне некоторого конечного интервала частот, например [-f b, f b ]

Определим случайный сигнал как выборочную функцию некоторого случайного процесса, задаваемого ансамблем реализаций, т. е. совокупностью реализаций, рассматриваемых совместно с вероятностями их появления. Неслучайные сигналы называются детерминированными и описываются известными функциями, заданными на конечных или бесконечных интервалах. Каузальный сигнал x(t) характеризуется тем, что при t

Метрические пространства Сигналы, обладающие некоторым общим свойством, можно объединить в одно множество S. Примером является множество периодических сигналов, множество сигналов с финитным спектром и т. д. Определив множество, мы начинаем интересоваться отличительными свойствами элементов этого множества. Общий подход заключается в том, что каждой паре элементов ставится в соответствие действительное положительное число которое трактуется как расстояние между элементами x и y. Множество, в котором определено расстояние, представляет собой пространство сигналов. При этом сигналы удобно рассматривать как векторы в этом пространстве

Функционал отображает каждую пару элементов на действительную ось и называется метрикой, обладающей следующими свойствами: а) d(x,y) 0 и d(x,y)=0, если только x=y; б) d(x,y)=d(y,x) (симметрия); в) d(x,z) d(x,y)+d(y,z) (неравенство треугольника). Множество с метрикой называется метрическим пространством.

Множество S с метрикой d называется метрическим пространством. Две разные метрики, определённые на одном и том же множестве, порождают разные метрические пространства. Приведём примеры часто используемых метрик.

Для аналоговых сигналов, заданных на интервале [0,T]

Для дискретных сигналов, заданных на интервале N

В пространстве n-разрядных двоичных сигналов расстояние между любой парой таких сигналов x=(x n-1,x n-2,…,x 1,x 0 ), и y=(y n-1,y n-2,…,y 1,y 0 ) вполне будет определяться числом несовпадающих символов: где означает сложение по модулю 2: без переноса в старший разряд. Метрика d(x,y) определяет расстояние по Хеммингу для двоичных слов.

Линейные пространства Метрическое пространство является линейным, если в нём определены операции сложения векторов и умножения вектора на скаляр, в результате которых образуется новый вектор в том же пространстве. Эти операции должны удовлетворять известным аксиомам Важным является понятие линейно независимых векторов φ k. Векторы φ 1,φ 2,…, φ n называются линейно независимыми, если равенство

выполняется тогда и только тогда, когда все α k =0. Путем линейных комбинаций таких линейно независимых векторов можно образовать векторное пространство S>,где каждый вектор x соответствует единственной линейной комбинации векторов φ k :

Пространство S называется N-мерным векторным линейным пространством. Множество линейно независимых векторов {φ k } называется базисом для S. Говорят, что S пространство натянуто на этом базисе. Совокупность N чисел { k } называется координатами или спектром вектора в этом базисе. Координаты вектора в общем случае могут быть комплексными.

Гильбертово пространство Это пространство определяют следующим образом. 1. Задано линейное пространство H 2. Для каждой пары x и y сигналов из H вводится линейная операция (x,y) называемая скалярным произведением двух векторов, в результате которой образуется скаляр, а не вектор. Эта операция должна удовлетворять аксиомам: (x,y)=(y,x)*, (x,y+z)=(x,y)+(x,z), (αx,y)=α(x,y), но (x,αy)=α*(x,y), (x,x) 0 причём (x,x)=0 тогда и только тогда, когда x=0. Здесь и далее звездочка означает комплексное сопряжение. 3. В H существует счётное число линейно независимых векторов. Норма или длина вектора определяется как

В гильбертовом пространстве вводится угол между двумя векторами, косинус которого определяется через скалярное произведение: Это соотношение используется для определения понятия ортогональных векторов. Векторы x и y называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю, т. е. если (x,y)=0. Поскольку |cos( ) 1 то, |(x,y)| x·y – неравенство Коши–Буняковского.

По определению гильбертова пространства в нем существует счетная система линейно независимых векторов, которые можно ортогонализировать, пользуясь известной процедурой Грама–Шмидта. Поэтому в гильбертовом пространстве существует счётная ортогональная система векторов {φ k } образующих ортогональный базис. В этом случае любой вектор может быть представлен в виде