НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Задачи на условный экстремум Метод неопределенных множителей Лагранжа Рассмотрим функцию двух переменных при наличии ограничений Найдем выражение для полного дифференциала функции g(x,y)

НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Откуда получим Воспользовавшись функцией g(x,y )выразим из нее y как функцию x y=h(x), тогда функцию z=f(x,y) можно представить в виде z=f(x,h(x)). Найдем минимум функции z(x)

НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА или Обозначим тогда В точке экстремума x=x*, y=y*, λ – число.

НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Аналогично для производной по y получим Из выражения Следуетили

НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Следовательно Откуда окончательно получим

НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Что равносильно минимизации функционала F(x,y,λ)=f(x,y)+λg(x,y), по переменным x, y, λ. Пример Найти экстремум функции Этот результат обобщается на случай n переменных и m ограничений m

НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Запишем выражение функционала исследуемого на безусловный экстремум откуда Решение системы x=2, y=2, λ.

НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Не классические вариационные задачи, ограничения типа неравенств. Поиск экстремума функции при наличии ограничений типа неравенств: Ограничения наложены на аргумент функции. Возможны два типа ограничений xa, a xb. Вводя замены переменных вида x=t 2 +a, t [-,], Получаем задачу на безусловный экстремум, плата переход от возможно линейной по условию задачи, к задаче нелинейной.

НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Теорема Куна – Таккера. Рассмотрим функцию при наличии ограничений Добавим в каждом ограничении типа неравенств ослабляющую переменную u j 2 с тем, чтобы ограничение типа неравенства перевести в ограничение типа равенства Теперь можно построить функцию Лагранжа

НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Для нахождения минимума следует продифференцировать F(.) по всем аргументам и результат приравнять нулю. Последние два выражения можно переписать в виде

НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Добавив к этим выражениям требование λ0, получим условия Куна - Таккера для поиска минимума функции при наличии ограничений типа неравенств

НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА