ПИРАМИДА Автор: Димитриева Анастасия

α А1А1 А2А2 АnАn P H Определение Пирамида – многогранник, составленный из n - угольника А 1 А 2 …А n и n треугольников Основание Боковые грани Вершина Высота – перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости основания Боковые ребра

Пирамиды Треугольная пирамида (тетраэдр) Шестиугольная пирамида Четырехугольная пирамида

Площадь пирамиды S полн. = S бок. + S осн. S бок. S осн.

Правильная пирамида Пирамида называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой АnАn А1А1 А2А2 P h O А3А3

Все боковые ребра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками Дано: PA 1 A 2 …A n – правильная пирамида Док - ть: 1) А 1 Р = А 2 Р = … = А n Р 2) А 1 А 2 Р = А 2 А 3 Р = … = = А n-1 А n Р – р/б А1А1 А2А2 АnАn Р ОА3А3

1)Рассмотрим ОРА 1 – п/у РО – высота h, OA 1 – радиус описанной окружности R По теореме Пифагора: A 1 P= h 2 + R 2 A 2 P= h 2 + R 2 – любое боковое ребро РА 1 = РА 2 =…= РА n 1)Рассмотрим ОРА 1 – п/у РО – высота h, OA 1 – радиус описанной окружности R По теореме Пифагора: A 1 P= h 2 + R 2 A 2 P= h 2 + R 2 – любое боковое ребро РА 1 = РА 2 =…= РА n Док – во: А1А1 А2А2 АnАn Р О 2) т. к. РА 1 = РА 2 =…= РА n, поэтому Боковые грани – р/б Основания этих равны: А 1 А 2 = А 2 А 3 = … = А 1 А n т. к. А 1 А 2 …А n - правильный многоугольник 2) т. к. РА 1 = РА 2 =…= РА n, поэтому Боковые грани – р/б Основания этих равны: А 1 А 2 = А 2 А 3 = … = А 1 А n т. к. А 1 А 2 …А n - правильный многоугольник А 1 А 2 Р = … = А n-1 А n Р – р/б R h

Апофема – высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины Апофемы Все апофемы правильной пирамиды равны друг другу

Теорема о площади боковой поверхности правильной пирамиды Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему Док – во: S бок = (½ad + ½ad + ½ad) = = ½d(a + a + a)= ½dP d a S бок = ½dP

Усеченная пирамида многогранник, образованный пирамидой и её сечением, параллельным основанию. Нижнее и верхнее основания Боковые грани Боковые ребра Высота (перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания)

Все боковые грани усеченной пирамиды - трапеции

Усеченная пирамида называется правильной, если она получена сечением правильной пирамиды плоскостью, параллельной основанию.

a2a2 a2a2 a1a1 a1a1 Теорема о площади боковой поверхности правильной усеченной пирамиды Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему S бок = ½(Р 1 + Р 2 ) d P 1 = 4a 1 P 2 = 4a 2 Док – во: S бок = ½d(a 1 +a 2 ) + ½d(a 1 +a 2 ) + + ½ d(a 1 +a 2 ) + ½d(a 1 +a 2 ) = = ½d(a 1 + a 2 + a 1 + a 2 + a 1 + a 2 + a 1 + a 2 ) = = ½d(4a 1 + 4a 2 ) = ½d(P 1 + P 2 ) d d