Школьная научно-практическая конференция «Шаг в будущее» «Магические квадраты» «Магические квадраты»

Цель работы: изучить магические квадраты и его свойства Задачи: познакомиться с историей магических квадратов, выяснить виды магических квадратов и способы их заполнения; познакомиться с трудами древних ученых; использовать Интернет для получения информации; провести исследования не менее десяти различных областей, в которых есть квадрат.

Магический, или волшебный квадрат это квадратная таблица, заполненная n² числами таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях одинакова. Если в квадрате равны суммы чисел только в строках и столбцах, то он называется полумагическим.

Согласно некоторому преданию китайский император Ию, живший около 4 тыс. лет назад, однажды увидел на берегу реки священную черепаху с узором из черных и белых кружков на панцире.

Если сложить числа первой строки, получится 15. Точно такой же результат получается, если сложить числа второй, а также третьей строки. При сложении чисел любого столбца тоже получается 15. Тот же результат получается и при сложении чисел по диагоналям: = 15, = 15 Символ, изображенный на рисунке, китайцы назвали «ло-шу» и считали магическим – он использовался при заклинаниях. Сообразительный император сразу понял смысл этого рисунка. Он заменил каждую фигуру числом, показывающим, сколько в ней кружков.

Слово «порядок» означает в данном случае число клеток на одной стороне квадрата. Квадрат 3 3 имеет третий порядок, а квадрат 5 5 – пятый. Магический квадрат второго порядка не существует.

Существует ещё 7 квадратов 3 порядка

Магических квадрат 4 порядка существует

Доказано, что магических квадратов 5 порядка более 13 миллионов 5 порядка более 13 миллионов

Этот квадрат 8 порядка составлен в 18 веке великим Леонардом Эйлером. Каждый ряд в этом квадрате даёт сумму 260, а половина ряда– 130.

По рядок n M (n) Первые значения магических констант приведены в следующей таблице: Сумма чисел в каждой строке, столбце и на диагоналях, называется магической константой, M. Магическая константа нормального волшебного квадрата зависит только от n и определяется формулой.

Нормальным называется магический квадрат, заполненный целыми числами от 1 до n². Ассоциативным,или симметричным, называется магический квадрат n-го порядка, если сумма любых двух чисел, расположенных симметрично относительно центра квадрата, равна n² =4²+1

Дьявольский магический квадрат магический квадрат, в котором также с магической константой совпадают суммы чисел по ломаным диагоналям в обоих направлениях. Такие квадраты называются ещё пандиагональными

Пандиагональные квадраты четвёртого порядка обладают рядом дополнительных свойств, за которые их называют совершенными. Совершенных квадратов нечётного порядка не существует Среди пандиагональных квадратов двойной чётности выше 4 имеются совершенные. Разломанные диагонали пандиагонального квадрата.

Если пандиагональный квадрат еще и ассоциативный, то он носит название идеальный. Пример идеального магического квадрата:

Фрагмент гравюры Дюрера «Меланхолия», 1514 г.

Латинский квадрат таблица n × n, заполненная n различными символами таким образом, чтобы в каждой строке и в каждом столбце встречались все n символов (каждый по одному разу). Ниже приводятся два примера: Название «латинский квадрат» берёт начало от Леонарда Эйлера, который использовал латинские буквы вместо цифр в таблице.

Два латинских квадрата называются ортогональными, если различны все пары символов (a,b), где a символ в некоторой клетке первого латинского квадрата, а b символ в той же клетке второго латинского квадрата. Пример пары ортогональных латинских квадратов: Легко видеть, что в соответствующем квадрате из пар все пары различны:

В XIII в. математик Ян Хуэй занялся проблемой методов построения магических квадратов, не только третьего, но и больших порядков. Он сумел построить магический квадрат шестого порядка

для квадратов нечётного порядка 1. Квадрат дополняется вспомогательными клетками с 4-х сторон«лесенкой». 2. Последовательные числа от 1 до n2 выписывают ряд за рядом в направлении, параллельном одной из диагоналей квадрата. 3. Числа, которые за рамками квадрата, нужно ввести внутрь. Для этого лесенки «вдвигаем в квадрат так, чтоб они примкнули к противолежащим сторонам квадрата.

для квадратов нечётного порядка В середине верхней строки пишут 1, а в самом низу соседнего справа столбца- 2. Следующие числа пишут по порядку в диагональном направлении вправо вверх. Дойдя до правого края квадрата, переходят к крайней левой клетке ближайшей вышележащей строки. Дойдя до верхнего края квадрата, переходят к самой нижней клетке соседнего справа столбца. Если последняя заполненная клетка находится в нижнем ряду квадрата, переходят к самой верхней клетке в том же столбце.

Выпишите все числа от 1 до n² по порядку в строках квадрата. Числа, стоящие в диагональных клетках, поменяйте местами с числами симметрично стоящими к ним относительно центра квадрата

Разделить заполненный числами от 1 до 64 квадрат на четыре равных квадрата порядка 4. В каждой строке и столбце верхнего левого квадрата порядка 4 отметить 2 (8=2*2*2) клетки ( всего 8 клеток). Это можно сделать, применив "шахматный" порядок. Для каждой из отмеченных клеток отметить симметричную ей относительно вертикальной оси клетку. Содержимое каждой из отмеченных клеток переставить с содержимым соответствующей центрально-симметричной ей клетки. После этих перестановок получится магический квадрат. Сумма его элементов равна 260.

Известно, что шахматы, как и магические квадраты, появились десятки веков назад в Индии. Поэтому неслучайно возникла идея шахматного подхода к построению магических квадратов. Впервые эту мысль высказал Эйлер. Он попытался получить полный магический квадрат непрерывным обходом коня. Однако, это сделать ему не удалось, поскольку в главных диагоналях суммы чисел отличались от магической константы.

Шахматная разбивка позволяет создавать любой магический квадрат. Цифры заполняются регулярно и построчно с учётом цвета ячеек.

Таблица Пифагора - один из методов анализа человека, разработанная древнегреческим философом и математиком Пифагором, который объединил математические системы арабов, друидов, финикийцев и египтян с науками о природе человека. Все люди, рожденные в этом мире, получают свою вибрацию числа, которое несет определенные характеристики. Магический квадрат позволяет по дате рождения определить типичные черты характера, заложенные человеку при рождении.

1. Вычисление первого числа Для расчета первого числа необходимо сложить все цифры числового ряда даты рождения. 2. Вычисление второго числа Для расчета второго числа необходимо сложить цифры, из которых состоит первое число (1). 3. Вычисление третьего числа Для расчета третьего числа необходимо вычесть из первого числа (1) первую цифру всего ряда (в нашем примере цифра 1), умноженную на постоянный множитель - 2 (два). 4. Вычисление четвертого числа Для вычисления четвертого числа необходимо сложить цифры, из которых состоит третье число (3). 5. Запишем полученные числа под датой рождения.

Клетки имеют следующие значения: 1. Характер человека, эго, воля, осознание. 2. Биоэнергетика. Энергия Солнца. 3. Внутренний склад человека, хозяйственность, порядочность. 4. Здоровье. 5. Интуиция. 6. Способности биоэнергетической части данной личности накапливать и преобразовывать энергию Земли, необходимую для созидательной или разрушительной деятельности. 7. Талантливость данной личности. 8. Возможное чувство долга, способность человека стремиться к свободе и ощущать себя ответственным за свои обязательства, стремление к завершению начатых им дел. 9. Количество девяток влияет на процессы развития и использования таланта.