Позиционные системы счисления Учитель информатики МОУ СОШ 10 Несмачная Г.В. МОУ СОШ 10 Несмачная Г.В.

Индийская мультипликативная система Системы счисления, основанные на позиционном принципе, возникли независимо одна от другой в древнем Междуречье (Вавилон), у племени Майя и, наконец, в Индии. Все это говорит о том, что возникновение позиционного принципа не было случайностью. Каковы же были предпосылки для его создания? Что привело людей к этому замечательному открытию? Чтобы ответить на эти вопросы, мы снова обратимся к истории. В древнем Китае, Индии и в некоторых других странах существовали системы записи, построенные на мультипликативном принципе.

Пусть, например, десятки обозначаются символом X, а сотни - У. Тогда запись числа 323 схематично будет выглядеть так: 3Y 2Х 3. В таких системах для записи одинакового числа единиц, десятков, сотен или тысяч применяются одни и те же символы, но после каждого символа пишется название соответствующего разряда. С использованием введенных обозначений число 100 можно записать в виде 1Y.

Следующей ступенью к позиционному принципу было опускание названий разрядов при письме (подобно тому, как мы говорим «три двадцать», а не «три рубля двадцать копеек». Но при записи чисел по такой системе очень часто требовался символ для обозначения отсутствующего разряда. Появление нуля Появление нуля Современная десятичная система счисления возникла приблизительно в V веке н.э. в Индии. Современная десятичная система счисления возникла приблизительно в V веке н.э. в Индии. Возникновение этой системы стало возможным после величайшего открытия цифры «О» для обозначения отсутствующей величины. Возникновение этой системы стало возможным после величайшего открытия цифры «О» для обозначения отсутствующей величины. Как же появился нуль? Как было, сказано, уже вавилоняне употребляли специальный символ для обозначения нулевого значения разряда. Как же появился нуль? Как было, сказано, уже вавилоняне употребляли специальный символ для обозначения нулевого значения разряда. Примерно во II веке до н.э. с астрономическими наблюдениями вавилонян познакомились греческие ученые, Вместе с их, вычислительными таблицами они переняли и вавилонскую систему счисления, но числа от 1 до 59 они записывали не с помощью клиньев, а в своей алфавитной нумерации. Но самое замечательное было то, что для обозначения нулевого значения разряда греческие астрономы стали использовать, символ «О» (первая буква греческого слова Ouden - ничто). Этот знак, был прообразом нашего нуля. Индийцы познакомились с греческой астрономией между II и VI вв. н.э., это видно из того, что они переняли общие теоретические положения этой науки и многие греческие термины. Примерно во II веке до н.э. с астрономическими наблюдениями вавилонян познакомились греческие ученые, Вместе с их, вычислительными таблицами они переняли и вавилонскую систему счисления, но числа от 1 до 59 они записывали не с помощью клиньев, а в своей алфавитной нумерации. Но самое замечательное было то, что для обозначения нулевого значения разряда греческие астрономы стали использовать, символ «О» (первая буква греческого слова Ouden - ничто). Этот знак, был прообразом нашего нуля. Индийцы познакомились с греческой астрономией между II и VI вв. н.э., это видно из того, что они переняли общие теоретические положения этой науки и многие греческие термины.

В современной десятичной системе счисления, которая является позиционной, используются 10 арабских цифр: О, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Почему мы называем наши цифры арабскими? С возникшей в Индии десятичной системой счисления первыми познакомились арабы. Они по достоинству ее оценили и начали использовать при подсчетах в торговых операциях. Именно арабы завезли эту систему счисления в Европу. С начала XII века эта десятичная система получила распространение во всей Европе под названием арабской. Будучи проще и удобнее остальных систем, она достаточно быстро вытеснила все другие способы записи чисел. С тех пор Цифры, используемые для записи чисел в десятичной системе счисления, называют арабскими.

Мы приводим таблицу, из которой видно, как постепенно видоизменялись цифры, употреблявшиеся арабами, пока они не приняли современные формы. Эти цифры называются цифрами «губар». Откуда произошли сами цифры «губар», до сих пор остается неясным.

Чем хороши позиционные системы счисления? Тем, что они позволяют легко производить арифметические расчёты. Попробуйте считать используя, скажем, римские цифры. Сколько будет ? То-то, а вот достаточно представить эти числа арабскими цифрами и мы легко сможем посчитать в столбик. Чем хороши позиционные системы счисления? Тем, что они позволяют легко производить арифметические расчёты. Попробуйте считать используя, скажем, римские цифры. Сколько будет ? То-то, а вот достаточно представить эти числа арабскими цифрами и мы легко сможем посчитать в столбик. Представление чисел с помощью арабских цифр - самая распространённая позиционная система счисления, она называется «десятичной системой счисления». Десятичной системой она называется потому, что использует десять цифр. Вот эти цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Внимательно их пересчитайте – их ровно десять. Заметьте: максимальная цифра (9) на единичку меньше количества цифр (10). Представление чисел с помощью арабских цифр - самая распространённая позиционная система счисления, она называется «десятичной системой счисления». Десятичной системой она называется потому, что использует десять цифр. Вот эти цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Внимательно их пересчитайте – их ровно десять. Заметьте: максимальная цифра (9) на единичку меньше количества цифр (10). Компьютер, в отличие от человека, хорошо разбирается в двоичной системе, он использует цифры: 0 и 1. Обратите внимание, что здесь система двоичная, а максимальная цифра 1. Компьютер, в отличие от человека, хорошо разбирается в двоичной системе, он использует цифры: 0 и 1. Обратите внимание, что здесь система двоичная, а максимальная цифра 1. Программисты пользуются, для упрощения себе жизни, ещё восьмеричной и шестнадцатеричной системами счисления. Программисты пользуются, для упрощения себе жизни, ещё восьмеричной и шестнадцатеричной системами счисления.

Количество цифр используемых в системе счисления называется «основанием». В десятичной системе основание равно десяти, в двоичной системе основание равно двум, ну а в восьмеричной и шестнадцатеричной соответственно восьми и шестнадцати. Количество цифр используемых в системе счисления называется «основанием». В десятичной системе основание равно десяти, в двоичной системе основание равно двум, ну а в восьмеричной и шестнадцатеричной соответственно восьми и шестнадцати. В общем случае в позиционной системе счисления числа представляются следующим образом: (anan 1...a0)f, где a0,a1,...,an - цифры, а f - основание системы счисления. Если используется десятичная система, то f – можно опустить. В общем случае в позиционной системе счисления числа представляются следующим образом: (anan 1...a0)f, где a0,a1,...,an - цифры, а f - основание системы счисления. Если используется десятичная система, то f – можно опустить. Примеры чисел: Примеры чисел: число в двоичной системе счисления, a0 = 1,a1 = 0, число в двоичной системе счисления, a0 = 1,a1 = 0, a2 = 0,a3 = 1,a4 = 1; a2 = 0,a3 = 1,a4 = 1; число в троичной системе счисления, a0 = 1,a1 = 2,a2 = 2; число в троичной системе счисления, a0 = 1,a1 = 2,a2 = 2; число в восьмеричной системе счисления, a0 = 1,a1 = 3; число в восьмеричной системе счисления, a0 = 1,a1 = 3; число в десятичной системе счисления, a0 = 5,a1 = 2; число в десятичной системе счисления, a0 = 5,a1 = 2;

Посмотрим чему равны числа из примеров. Используем только что приведённую формулу: Посмотрим чему равны числа из примеров. Используем только что приведённую формулу: ; ;..