Понятие вектора Отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек считается началом, а какая – концом, называется направленным отрезком или вектором. О п р е д е л е н и е. Рассмотрим пример. Пусть на тело действует сила в 8 Н. На рисунке силу изображают отрезком со стрелкой (рис. 1). Стрелка указывает направление силы, а длина отрезка соответствует в выбранном масштабе числовому значению силы. Так, на рисунке 1 сила в 1 Н изображена отрезком длиной 0,6 см, поэтому сила в 8 Н изображена отрезком длиной 4,8 см. Рис. 1

Нулевой и ненулевой векторы Любая точка плоскости также является вектором. В этом случае вектор называется нулевым. Начало нулевого вектора совпадает с его концом, на рисунке такой вектор изображается одной точкой. Если, например, точка, изображающая нулевой вектор, обозначена буквой М, то данный нулевой вектор можно обозначить так: (рис. 2). Нулевой вектор обозначается также символом.На рисунке 2 векторы ненулевые, а вектор нулевой. Длины векторов, изображённых на рисунке 2, таковы: (каждая клетка на рисунке 2 имеет сторону, равную единице измерения отрезков). Рис. 2

Равенство векторов Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых; нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору. На рисунке 3 векторы a, b, AB, CD, MM (вектор ММ нулевой) коллинеарные, а векторы АВ и EF, а также СD и EF не коллинеарные. Если два ненулевых вектора a и b коллинеарные, то они могут быть направлены либо одинаково, либо противоположно. В первом случае векторы a и b называются сонаправленными, а во втором – противоположно направленными. Сонаправленность векторов a и b обозначается следующим образом:. Если же векторы противоположно направленные, то это обозначают так:. На рисунке 3 представлены как сонаправленные, так и противоположно направленные векторы: Рис. 3 Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны. О п р е е л е н и е

Сумма двух векторов Рассмотрим пример. Пусть материальная точка переместилась из точки А в точку В, а затем из точки В в точку С (рис. 4). В результате этих двух перемещений, которые можно представить векторами, Материальная точка переместилась из точки А в точку С. Поэтому результирующее перемещение можно представить вектором. Поскольку перемещение из точки А в точку С складывается из перемещения из А в В и перемещения из В в С, то вектор естественно назвать суммой векторов : =. Рассмотренный пример приводит нас к понятию суммы двух векторов. Рис. 4

Вычитание векторов Разностью векторов называется такой вектор, сумма которого с вектором равна вектору. Разность векторов обозначается так: (Рис. 5) Теорема Для любых векторов справедливо равенство Рис. 5

Умножение вектора на число. Произведение вектора на число k обозначается так k. На рисунке 6 изображены вектор и векторы 3, -1,5, Умножение вектора на число обладает следующим основными свойствами: 1)Произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор; 2) Для любого числа k и любого вектора и k коллинеарны. Для любых чисел k, r и любых векторов справедливы равенства: 1°.(kr) =k(r )(сочетательный закон). 2°. (k+r) = k + r (первый распределительный закон). 3°. K( ) = k + k (второй распределительный закон). Рис. 6

Применение векторов к решению задач. Векторы могут использоваться для решения геометрических задач и доказательства теорем. Приведём пример. Рассмотрим задачу. Задача. Точка С - середина отрезка АВ, а О – произвольная точка плоскости (рис. 7). Доказать, что Рис. 7

Средняя линия трапеции Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины её боковых сторон. Докажем теорему о средней линии трапеции. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. Теорема Рис. 8