Определение: функция F называется первообразной для функции f на заданном промежутке, если для всех x из этого промежутка F (x) = f (x). F (x) = f (x). Пример. Функция F (x)= х³/3 есть первообразная для функции f (x)= x², т.к. F' (x)= (x³/3)= 1/3 (x³)= 1/3*3x²= x²= f (x). Пример. Функция F (x)= х³/3 есть первообразная для функции f (x)= x², т.к. F' (x)= (x³/3)= 1/3 (x³)= 1/3*3x²= x²= f (x). Основное свойство первообразной (теорема): Любая первообразная для функции f на промежутке i может быть записана в виде F (x) +C, где F (x)-одна из первообразных для функции f (x) на промежутке i, а С – произвольная постоянная. Доказательство: Пусть F- первообразная для f на промежутке i. Следовательно, F (x)= f (x) для любого х є I, поэтому (F (x) + C) = F' (x) + C' = f (x) + 0= f (x), т.е. F (x) +C - первообразная для функции f.

3 правила нахождения первообразных. Правило 1. Если F есть первообразная для f, а G – первообразная для g,то F+G есть первообразная для f+g. Пример. f (x)= x²+1/x² => F (x)= x³/3-1/x. Правило 2. Если F есть первообразная для f, а k -постоянная, то функция kF -первообразная для kf. Пример. f (x)= 5 cos x => F (x)= 5 sin x. Правило 3. Если F (x) есть первообразная для f (x), а k и b - постоянные, причем k0,то 1/k*F (kx+b) есть первообразная для f (kx+b). Пример. f (x)= sin (3x-2) => F (x)= -1/3 cos (3x-2).

Таблица первообразных для некоторых функций: Функцияf k (постоя нная) k (постоя нная) X^n (n єZ, n-1) 1x sin x sin x cos x cos x 1 cos² x 1 sin² x Общий вид первооб разных для f kx + C kx + C x^n+1 +C x^n+1 +C n + 1 n + 1 2x +C -cos x +C sin x + C sin x + C tg x +C -ctg x + C

Пусть на отрезке [a; b] оси Ох задана непрерывная функция f, не меняющая на нем знака. Фигуру, ограниченную графиком этой функции, отрезком [a; b] и прямыми х = а и х = b, называют криволинейной трапецией. Примеры криволинейных трапеций:

Теорема. Если f –непрерывная и неотрицательная на отрезке [a; b] функция, а F – ее первообразная на этом отрезке, то площадь S соответствующей криволинейной трапеции равна приращению первообразной на отрезке [a; b], т.е. S= F (b) – F (a). Доказательство. Т.к. S есть первообразная для f, то в силу основного свойства первообразных для всех х є [a; b] имеем: S (x) = F (x) + C. Для нахождения С подставляем х = а => F (a) + C=S (a)= 0 => C= -F (a). Следовательно, S (x)= F (x) – F (a). Если подставить х = b, то получим S =S (b)= F (b) – F (a). Пример. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f (x)= x², прямыми у=0, х=1, х=2. F (x)= x³/3 => S= F (2) – F (1)= 2³/3 - 1³/3= 7/3 кв. ед.

Интеграл - это некоторое число, к которому стремится непрерывная функция f на отрезке [a; b] при n. Обозначают интеграл: b f (x) dx, a где числа а и b называют пределами интегрирования: а- нижний предел, b - верхний предел, - знак интегрирования, f - подынтегральная функция, х – переменная интегрирования. Формула Ньютона- Лейбница: если F –первообразная для f на [а; b], то b S = f (x) dx= F (b) – F (a). a

Пример 1. Вычислить интеграл: х²dх = 3х³/3 |= х³ |= = Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: у = х² + 2х, у = 0, х = 0, х = 4 4 (х²+2х)dх = х³/3 + х² |= 64/ = = 37 кв.ед. 0