КомбинаторикаКомбинаторика

Цель урока: Рассмотреть, что изучает комбинаторика, ввести правила суммы и произведения и показать их применение при решении задач.

Теоретическая часть

1. Комбинаторика. Комбинаторика это раздел математики, посвященный решению задач выбора и расположения элементов некоторого множества в соответствии с заданными правилами. Комбинаторика изучает комбинации и перестановки предметов, расположение элементов, обладающее заданными свойствами. Обычный вопрос в комбинаторных задачах: сколькими способами... К комбинаторным задачам также относятся задачи построения математических квадратов, задач расшифровки и кодирования. Рождение комбинаторики как раздела математики связано с трудами великих французских математиков 17 века Блеза Паскаля ( ) и Пьера Ферма ( ) по теории азартных игр. Основные правила комбинаторики – это правила суммы и произведения.

2. Правило суммы Если некоторый элемент А можно выбрать m способами, а элемент В - n способами, то выбор «либо А, либо В» можно сделать m+n способами. Запись в тетради: А - m способов; В - n способов; А или В - (m+n) способов. Например: если на тарелке лежат 5 яблок и 6 груш, то один плод можно выбрать 5+6=11 способами. Обратите внимание на то, что выбирается не просто яблоко или груша, а один конкретный плод - это / яблоко или эта груша.

3. Правило произведения. Если элемент А можно выбрать m способами, элемент В можно выбрать n способами, то пару А и В можно выбрать mn способами. Запись в тетради. А m способов; В - n способов; (А и В) - (mn) способов. Например: если есть 2 разных конверта, 3 разные марки, то выбрать то выбрать конверт и марку можно 2*3=6 способами. Обратите внимание - выбирается пара конверт и марка. Правило произведения верно и в том случае, когда рассматриваются элементы нескольких множеств. Например: если есть 2 разных конверта и 3 разные марки и 4 разные открытки, то выбрать конверт, марку и открытку можно 2*3*4=24 способами.

Практическая часть

Задача 1 Решить задачу, предварительно определив, сколько элементов надо выбрать (т. е. на какое правило задача). Сколько существует вариантов покупки одной розы, если продают 3 алые, 2 белые и 4 желтые розы?

Решение: Выбирается 1 роза. Правило суммы 3+2+4=9 (способов).

ЗАДАЧА 2. В столовой есть 4 первых блюда и 7 вторых. Сколько различных вариантов обеда из 2 блюд можно заказать?

Решение: Выбирается 2 блюда. Правило произведения 4. 7=28 (вариантов).

Задача 3. На блюде лежат 7 яблок 3 груши и 4 апельсина а) сколькими способами можно взять с блюда 1 плод; б) сколькими способами можно взять: (яблоко с грушей); (яблоко с апельсином); (грушу с апельсином); в) сколькими способами можно взять 2 фрукта с разными названиями.

Решение: а) выбирается 1 плод. Правило суммы 7+3+4=14; б) выбирается 2 плода. Правило произведения: (7. 3=21 способ ), (7. 4=28 способов ), (3. 4=12 способов ); в) применяются оба правила. Сначала - правило произведения (выбирается пара) и затем – правило суммы (эта пара рассматривается как единое целое) = =61 (способ ).

Задача 4. Сколько различных двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 4 и 7, если цифры могут повторяться?

Решение: 1-й способ (перебор) Ответ: 9 чисел. 2-й способ (использование формулы) - двузначное число. Способ записи числа 3. 3=9

3-й способ (построение дерева)

Задача 5. В пакете драже лежат 9 красных,10 синих и 12 зелёных конфет. а) сколькими способами можно взять 1 конфету? б) сколькими способами можно взять: красную и синюю конфеты; красную и зеленую конфеты; синюю и зеленую конфеты. в) сколькими способами взять 2 конфеты разного цвета.

Решение: а) =31(способ) б) 1) 9. 10=90(способов), 2) 9. 12=108 (способов), 3)10. 12=120(способов) в) =318(способов)

Задача 6 Сколько различных трехзначных чисел можно составить, используя цифры 3 и 5,если цифры могут повторяться?

Решение: 1-й способ (перебор) (8 чисел) 2-й способ (формула) =8 (чисел)

Задача 7 Сколько различных флагов можно сшить из материи 3-х цветов : красного, синего и белого, если каждый должен состоять из 3-х равных горизонтальных полос разного цвета?

Решение Вариантов решения этой задачи немного, их можно последовательно перебрать. К К С С Б Б С Б Б К С К Б С К Б К С Есть ли среди них флаг России?

Задача 8. От Кащея до Бабы-Яги ведут 3 дороги, а от Бабы-Яги до Кикиморы 2 дороги. Сколькими способами можно пройти от Кащея до Кикиморы, заходя к Бабе-Яге?

Решение: Каждый из 3-х путей, ведущих от Кащея к Бабе-Яге, можно продолжить двумя способами, значит получаем 3. 2=6 различных путей. Баба Яга КащейКикимора

Задача 9. В корзине сидят котята - 2 черных, 2 рыжих и 1 полосатый. Сколькими способами можно выбрать трех котят так, чтобы они все были разной окраски?

Решение: По условию, полосатого котенка надо выбирать всегда, то есть способ выбора всего один. Черного котенка можно выбрать двумя способами; рыжего – тоже двумя. Всего получаем: =4 способа.

Подведение итогов. Оцените степень вашего усвоения материала: а) усвоил полностью, могу применить; б) усвоил полностью, но затрудняюсь в применении; в) не усвоил.