Вариационное исчисление в MathCAD

Элементарная задача вариационного исчисления и ее обобщения

Пример 1 Элементарная задача вариационного исчисления

Поскольку функционал зависит от x, y, и dy, запишем уравнение Эйлера в общем виде:

Пример 1 Элементарная задача вариационного исчисления

Пример 2 Функционал зависит от нескольких функций

Пример 3 Функционал зависит от производных более высокого порядка

Условие трансверсальности

Подходы к решению задач с условием трансверсальности в MathCAD 1. С помощью условий трансверсальности 2. Теорема Понтрягина (обращение Гамильтониана в нуль) 3. Нелинейное программирование

Условие трансверсальности Условие трансверсальности: Смысл условия трансверсальности в том, что если двигать точку M(x2,y2) по кривой и по полученным точкам строить экстремали, то из всех экстремалей экстремум будет составлять та, которая удовлетворяет условию трансверсальности. Для решения задачи необходимо решить уравнение Эйлера в общем виде, а затем найти произвольные постоянные и координаты точки M(x2,y2) из системы:

Условие трансверсальности. Гамильтониан для функций нескольких переменных: В задаче с нефиксированным временем для определения оптимального времени перевода системы из одного состояния в другое используется следующие условие:

Условие трансверсальности. Нелинейное программирование Если задать пробное значение неизвестного конца, то по нему можно найти решение уравнения Эйлера На этой кривой функционал принимает некоторое значение, которое, в конечном счете, является функцией х2. Таким образом, вариационная задача сводиться к исследованию на экстремум функции одной переменной J(x2). Если искать экстремум аналитически (находить производную и приравнивать к нулю), получим условие трансверсальности. Если решать численно, то задача сводится к экстремуму функции одного переменного.

Пример 4 Условие трансверсальности. Оба конца подвижные.

Поскольку функционал зависит лишь от y, уравнение Эйлера принимает вид: Условия трансверсальности имеют вид:

Пример 4 Условие трансверсальности. Оба конца подвижные. Для определения х1,х2,с1,с2 решаем систему: условие ортогональности

Пример 4 Условие трансверсальности. Оба конца подвижные. Определим расстояние (значение функционала):

Достаточные условия экстремума К. Вейерштрасс А. М. Вейерштрасс

Достаточные условия экстремума Пусть задано однопараметрическое семейство кривых y=y(x,c). Говорят, что это семейство образует поле (собственное) в некоторой области D, если через любую точку этой области M(x 0,y 0 ) проходит единственная кривая семейства. Математически это записывается так: Пусть все линии семейства y=y(x,c) проходят через некоторую точку M(x 0,y 0 ) области D. Если кривые семейства полностью покрывают область, но нигде больше, кроме М не пересекаются, то такое семейство называют центральным полем.

Достаточные условия экстремума Поле экстремалей задачи – собственное или центральное поле y=y(x,c) такое, что: a)Собственное поле b)Центральное поле

Достаточные условия экстремума Функция Вейерштрасса имеет вид: Достаточные условия Вейерштрасса сильного минимума. Функция у(х) доставляет сильный минимум функционалу J(y), если: 1) Она является решением уравнения Эйлера при заданных граничных условиях, то есть если выполняются необходимые условия экстремума 2) Ее можно включить в поле экстремалей 3) Достаточные условия Вейерштрасса слабого минимума. Функция у(х) доставляет слабый минимум функционалу J(y), если: 1) То же самое, если выполняются необходимые условия экстремума 2) То же самое, ее можно включить в поле экстремалей 3)

Пример 5 Достаточное условие Вейерштрасса Решаем уравнение аналогично примеру 1...

Пример 5 Достаточное условие Вейерштрасса Итак, экстремаль функционалу доставляет кривая:

Пример 5 Достаточное условие Вейерштрасса

Достаточные условия экстремума Достаточные условия Лежандра сильного минимума. Функция у(х) доставляет сильный минимум функционалу J(y), если: - На экстремали y=y 0 (x) F yy >0 Достаточные условия Лежандра слабого минимума. Функция у(х) доставляет слабый минимум функционалу J(y), если: - F yy 0 в точках (х,у), близких экстремали y=y 0 (x), и для произвольных значений у

Пример 6 Достаточное условие Лежандра