Признаки параллелограмма Решение задач

1. В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны. 2. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Свойства параллелограмма

Признаки параллелограмма 1. Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник - параллелограмм. 2. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм. 3. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и в точке пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник - параллелограмм

Решение задач 371 (а) 371 (а) Докажите, что выпуклый четырехугольник ABCD является параллелограммом, если и A BC D

Решение задач A BC D 5. Т.к. BC=AD и BC||AD, то по первому признаку параллелограмма, ABCD – параллелограмм Доказательство Доказать: ABCD - параллелограмм Дано: ABCD - четырехугольник 1. Рассмотрим и 2. По условию AC – общая, следовательно по первому признаку равенства треугольников 3. следовательно BC=AD 4. т.к. эти углы являются накрест лежащими при параллельных прямых BC, AD и секущей AC следовательно BC||AD

Решение задач 371 (б) 371 (б) Докажите, что выпуклый четырехугольник ABCD является параллелограммом, если AB||CD и A BC D

Решение задач A BC D Доказательство Доказать: ABCD - параллелограмм Дано: ABCD – четырехугольник AB||CD 1. Проведем диагональ BD 2. AB||CD по условию, следовательно (как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых AB и СВ, секущей BD) Так как сумма углов треугольника равна,то 4. - по условию,следовательно 5. Рассмотрим и 6. BD – общая сторона, следовательно по первому признаку равенства треугольников 7. следовательно AB=CD 8. AB||CD и AB=CD – по первому признаку параллелограмма, ABCD – параллелограмм

Решение задач Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Докажите что четырехугольник A 1 B 1 C 1 D 1, Вершинами которого являются середины отрезков OA, OB, OC, и OD, - параллелограмм A BC D O A1A1 B1B1 C1C1 D1D1

Решение задач A BC D O A1A1 B1B1 C1C1 D1D1 1. ABCD – параллелограмм, следовательно AO=OC и BO=OD (по свойству параллелограмма) 2. иследовательно A 1 O=C 1 O 3. и следовательно B 1 O=D 1 O 4. следовательно A 1 B 1 C 1 D 1 – параллелограмм по третьему признаку параллелограмма Доказательство Дано: ABCD – параллелограмм, Доказать: A 1 B 1 C 1 D 1 - параллелограмм

Решение задач Из вершин B и D параллелограмма ABCD, у которого и угол А острый, проведены перпендикуляры и угол А острый, проведены перпендикуляры BK и DM к прямой AC. Докажите, что четырехугольник BMDK – параллелограмм. A BC D K M

Решение задач A BC D K Доказательство Доказать: BMDK - параллелограмм Дано: ABCD – параллелограмм, M Рассмотрим иэти треугольники прямоугольные 2. AB||CD (по определению параллелограмма), (как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых AB и CD, секущей AC) 3. AB=CD (по свойству параллелограмма) 4. Из (2) и (3) следует что (по гипотенузе и острому углу) 5. Следовательно BK=MD и AK=CM 6. Рассмотрим и 8. AD=BC (по свойству параллелограмма), AK=CM из (5) 9. Из (7) и (8) следует что (по второму признаку равенства) 7. AD||BC (по определению параллелограмма), (как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых AD и BC, секущей AC) 10. Следовательно BM=KD 11. BK=MD и BM=KD из (5) и (10), следовательно BMDK – параллелограмм по второму признаку параллелограмма

Домашнее задание 380, , 383