ВВЕДЕНИЕ. Каждый из нас знает, что такое паркет. Но мало кто задумывается о том, как составляется паркет. Этот вопрос мы решили обсудить в своей работе.

ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ РАБОТЫ. 1. Показать, как данным четырёхугольником произвольной формы можно настлать паркет. 2. Рассмотреть решения задач, связанных со свойствами четырёхугольников. 3. Углубить и расширить знания по математике.

Нам предлагается такая задача: данным четырёхугольником произвольной формы настлать паркет, т.е. заполнить всю плоскость без пропусков и перекрытий. Решение её можно получить с помощью центральной симметрии. Отразим четырёхугольника ABCD симметрично относительно стороны АВ. На рисунке исходный четырёхугольник помечен цифрой 1, а симметричный – цифрой 2. Теперь четырёхугольник 2 отразим симметрично относительно середины его стороны ВС, а полученный четырёхугольник 3 – относительно середины его стороны CD. Четырёхугольники 1, 2, 3, 4 примыкают к их общей вершине углами А, В, С, D. А так как сумма углов четырёхугольника равна 360 градусов, то эти четыре четырёхугольника располагаются вокруг их общей вершины без пропусков и перекрытий.

Такое же построение можно провести вокруг каждой вершины каждого из новых четырёхугольников, что и даёт паркет во всей плоскости.

. Раскрасим четырёхугольники двумя цветами В раскрашенном таким образом паркете два четырехугольника одного цвета получаются друг из друга параллельным переносом, а два четырехугольника разных цветов – центральной симметрией. Заметим, что исходный четырехугольник может быть и невыпуклым – паркет получается и в этом случае.

ЗАДАЧА 1. В выпуклом четырёхугольнике проведены средние линии, т.е. отрезки, соединяющие середины противоположных сторон. Докажите, что из получившихся четырёх частей можно составить параллелограмм. РЕШЕНИЕ. На рисунке фрагмент паркета разделён на части средними линиями (средние линии MN и NP лежат на одной прямой, так как они симметричны относительно точки N; то же относится и к другим средним линиям). Части m, n, p, q составляют один из четырёхугольников паркета, а равные им части m/, n/, q/, p/ составляют параллелограмм.

З АДАЧА 2 Докажите, что если средняя линия, соединяющая середины двух противоположных сторон четырёхугольника, равна полусумме двух других противоположных сторон, то этот четырёхугольник – трапеция (или параллелограмм). РЕШЕНИЕ. На рисунке MN и NP – средние линии; отрезки AQ и MP равны и параллельны (поскольку AM и QP равны и параллельны). Если MN=1/2(AB+CD), т.е. AQ=MP=AB+BQ, то точка В принадлежит отрезку AQ. Следовательно, АВ параллельна CD, т.е. ABCD – трапеция.

ЗАДАЧА 3. В древнем Вавилоне для вычисления площади четырёхугольника ABCD перемножали полусуммы противоположных сторон: S=(AB+CD):2*(AD+BC):2. (1) Докажите, что такой способ вычисления площади приводит к правильному результату только в случае прямоугольника. РЕШЕНИЕ. На рисунке четыре закрашенных треугольника составляют фигуру, равновеликую параллелограмму AMNP (это вытекает из того, что треугольник AMB равен треугольнику PNQ и треугольник MEN равен треугольнику ADP).

ЗАДАЧА 4. Проведены две прямые, делящие две противоположные стороны выпуклого четырёхугольника на три равные части, причём внутри четырёхугольника эти прямые не пересекаются. Докажите, что между этими прямыми заключена третья часть площади четырёхугольника. РЕШЕНИЕ..