Линейная алгебра Матрицы. Основные понятия. Действия над матрицами Метод обратной матрицы решения систем линейных уравнений

Матрицы. Основные понятия Матрицей называется прямоугольная таблица, составленная из каких – либо элементов и имеющая m строк и n столбцов. Элементами матрицы могут быть числа, алгебраические выражения, функции и т.д. Матрицы обозначаются заглавными буквами латинского алфавита, элементы матрицы – теми же маленькими буквами. Размерность матрицы обозначается: количество строк количество столбцов

Матрицы. Основные понятия Если, то матрица называется прямоугольной. Любое число (скаляр) можно представить как матрицу первого порядка, размерностью. Если, то матрица называется квадратной (n - ного порядка). Матрица типа называется матрица-строка: Матрица типа называется матрица-столбец:

Матрицы. Основные понятия Квадратная матрица называется единичной, если ее элементы, расположенные на главной диагонали, равны единице, остальные – нулю (обозначается буквой Е): Если все элементы квадратной матрицы равны нулю, то она называется нуль-матрицей и обозначается символом 0.

Матрицы. Основные понятия Для каждой квадратной матрицы n - ного порядка существует определитель n - ного порядка, элементы которого равны соответствующим элементам матрицы. Определитель любой единичной матрицы равен единице. Если определитель матрицы равен нулю, то матрица называется вырожденной, в противном случае матрица невырожденная.

Действия над матрицами Равенство матриц Сложение (вычитание) матриц Сумма и разность матриц существуют только для матриц одинакового размера, при этом соответствующие элементы матриц складываются или вычитаются. Матрицы равны, если они имеют одинаковую размерность и их соответствующие элементы равны.

Действия над матрицами Умножение матрицы на число Найти значение выражения: При умножении матрицы A на число k получается матрица того же размера, при этом каждый элемент матрицы A умножается на k.

Действия над матрицами Умножение матриц Произведение матриц A * B определено только тогда, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В, в противном случае произведение не существует. Произведением матрицы A размера с элементами a ij на матрицу B размера с элементами b jq называется матрица C размера с элементами:

Действия над матрицами Найти С = A * B

Действия над матрицами Свойства операции произведения матриц: 1) 2) 3) 4) В общем случае для произведения матриц не действует переместительный закон: иногда АВ существует, а ВА не имеет смысла. В случае, когда АВ = ВА, матрицы А и В называются коммутативными. 5) Единичная матрица является коммутативной для любой квадратной матрицы того же порядка: 6) Для двух квадратных матриц А и В одного порядка произведение определителей равно определителю произведения.

Действия над матрицами Нахождение обратной матрицы Обратная матрица обозначается символом А -1. Таким образом, согласно определению: АА -1 =А -1 А=Е. Обратной матрицей по отношению к данной невырожденной квадратной матрице A n - ного порядка, называется матрица, которая, будучи умноженной как слева, так и справа на данную матрицу, дает единичную матрицу. Если определитель матрицы равен нулю, то обратная матрица не существует Транспонированная матрица получается из матрицы А путем замены строк соответствующими столбцами Присоединенная матрица получается путем замены каждого элемента матрицы А т на его алгебраическое дополнение

Действия над матрицами Из второй строки вычтем первую строку Разложим определитель по элементам 3 столбца

Метод обратной матрицы решения систем линейных уравнений Метод обратной матрицы рассмотрим на примере решения квадратной системы 3 порядка. Запишем эту систему в матричном виде. Обозначим: Основная матрица системы Матрица - столбец неизвестных Матрица - столбец свободных членов

Метод обратной матрицы решения систем линейных уравнений Тогда систему можно записать так: Найдем решение системы в матричном виде. Предположим, что det A отличен от нуля и, следовательно, существует обратная матрица А -1. Умножим слева матричную запись системы на обратную матрицу: Метод обратной матрицы применим для решения квадратных систем с невырожденной основной матрицей.

Метод обратной матрицы решения систем линейных уравнений Решить систему методом обратной матрицы. -0,5 2 -5