Решение систем линейных уравнений методом Гауса Задача 11.27

Наиболее распространенным методом решения систем линейных уравнений является метод Гаусса, или метод последовательного исключения неизвестных. Сущность этого метода состоит в том, что посредством последовательных исключений неизвестных данная система превращается в ступенчатую (в частности, треугольную) систему, равносильную данной. При практическом решении системы линейных уравнений методом Гаусса удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а расширенную матрицу этой системы, выполняя элементарные преобразования над ее строками. Последовательно получающиеся в ходе преобразования матрицы обычно соединяют знаком эквивалентности

Система уравнений: 2x 2 +4x 3 – x 4 =12 – x 1 +x 2 – 2x 3 – x 4 = – 15 4x 1 – 8x 3 – x 4 =12 2x 1 – x 2 – 4x 3 – 2x 4 = – 3

Приведем данные уравнения к виду расширенной матрицы 5х4 этой системы

Произведем следующие элементарные преобразования над ее строками: а)перемножая все элементы первой строки на 4 и 2 и прибавляя соответственно к 3 и 4 строкам, получаем требуемые нули в первом столбце матрицы (*4)(*2)

б) в полученной матрице все элементы второй строки умножаем на (-2) и прибавляем к третьей строке, затем делим все элементы второй строки на (-2) и прибавляем к четвертой, для получения необходимых нулей во втором столбце *(-2)/(-2)

в) В полученной матрице все элементы четвертой строки делим на (-10) и перемножаем на /2-39/(-10)*24

г) для получения необходимого нуля в третьем столбце в полученной матрице ко всем элементам четвертой строки прибавляем соответствующие элементы третей строки /5468/5

В полученной матрице для упрощения разделим третью строку на (-3), а четвертую умножим на 5 и разделим на (-27) /(-3) 00027/5108/5*5; /(-27)

В результате всех этих преобразований данная матрица приводится к треугольному виду:

Подставляя элементы преобразованной диагональной матрицы, получаем систему уравнений следующего вида: -x 1 +x 2 –2x 3 –x 4 = -15 2x 2 + 4x 3 – x 4 =12 8x 3 +x 4 =24 x 4 =4

Из последнего уравнения x 4 = 4. Подставляя это значение в третье уравнение, получаем x 3 = 2,5. Далее из второго уравнения получим x 2 = 3. Подставляя в первое уравнение найденные х 2,х 3,х 4 : получаем х 1 = 9